23.11.17

EULER y el Problema de Basilea

El problema de Basilea debe su nombre a la ciudad natal de Euler y la familia Bernoulli. Consiste en hallar la suma infinita de los inversos de los cuadrados de los números naturales:

 \[   \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}   \]

Aparece mencionado por primera vez en Novae quadraturae arithmeticae (Pietro Mengoli, 1650). A partir de esa fecha varios matemáticos intentarán resolver el problema de hallar la suma, aunque ninguno lo conseguirá hasta llegar a Euler, que realizaría varias demostraciones.

El primero en intentarlo fue John Wallis en su Arithmetica infinitorum (1655), donde aproxima la serie por 1.645, cometiendo un error menor que una milésima.

Leibniz conoció el problema en 1673, cuando Henry Oldenburg se lo propuso por carta, pero no pudo resolverlo. Los Bernoulli también lo conocieron, Jakob Bernoulli aunque no consigue sumar la serie, demuestra que la cota superior es 2.

Obtener aproximaciones no es tan fácil como podría parecer, por ser una serie de convergencia muy lenta. Si sumamos cien términos conseguimos la aproximación 1.63498390018489.

Goldbach en 1729 acota la solución entre 1.664 y 1.665.
Stirling en 1730 también da una aproximación en su libro Methodus Differentialis, 1.644934066, correcta hasta la novena cifra decimal.

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Leonhard Euler (Basilea, 1707 - San Petersburgo, 1783)

En 1735 Euler resuelve el enigma:

"He hallado, contra todo pronóstico, una expresión elegante para la suma de la serie \(   1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...     \) que depende de la cuadratura del círculo. He encontrado que 6 veces la suma de esta serie es igual al cuadrado de la longitud de la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 1"

Euler estaba afirmando, en notación actual:

\[   \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{6}   \]

Algunos de los contemporáneos de Euler, aunque aceptaron su solución para el problema de Basilea, reflexionaron sobre la validez del razonamiento que llevaba hasta ella. Especialmente preocupado se mostró Daniel Bernoulli, pero pese a que el razonamiento seguido por Euler era falso, el resultado era cierto!!.

Euler generoso, para disipar las dudas, concibió otra demostración alternativa:

\[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}= 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\frac{1}{49}+\frac{1}{64}+...= \]
\[ = \left [ 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...\right ]+\left [ \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+\frac{1}{64}... \right ]= \left [ 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...\right ]+ \frac{1}{4}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}... \right ]= \]
\[ = \left [ 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...\right ]+ \frac{1}{4}\cdot \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}    \]

Además Euler sabía que
\[ \int_{0}^{1}\frac{\arcsin t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt =\frac{1}{2}\cdot \left ( \arcsin 1 \right )^2=\frac{\pi^{2 }}{8}     \]

Teniendo en cuenta el desarrollo en serie  de \(  \arcsin t = t + \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{t^{3}}{3}+\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \dfrac{t^{5}}{5}+\dfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot \dfrac{t^{7}}{7}+...   \) obtuvo que:

\[  \int_{0}^{1}\frac{\arcsin t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt =\int_{0}^{1}\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt +  \frac{1}{2\cdot 3}\int_{0}^{1}\frac{t^3}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt +\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}\int_{0}^{1}\frac{t^5}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt  +  \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}\int_{0}^{1}\frac{t^7}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt +... \]

donde  \[ I_{1}= \int_{0}^{1}\dfrac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt =1     \]; \[I_{n+2}= \int_{0}^{1}\dfrac{t^{n+2}}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt=\dfrac{n+1}{n+2}\cdot I_{n} \] 
(integración por partes: \( u=t^{n+1} \)  )

Es decir \[ \frac{\pi^{2 }}{8} = \int_{0}^{1}\frac{\arcsin t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt=1+\frac{1}{2\cdot 3}\cdot \left [ \frac{2}{3}\cdot 1 \right ]+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}\cdot \left [ \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}\right ]+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}\cdot \left [ \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}  \right ]+...= \]
\[ = 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...    \]

De todo ello Euler deduce:
 \[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}} = \left [ 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...\right ]+ \frac{1}{4}\cdot \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2 }}{8} + \frac{1}{4}\cdot \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}   \]

Operando obtenemos:
\[ \frac{3}{4}\cdot \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^2}{8}     \]
 y de este modo magistral Euler obtuvo el resultado esperado:

\[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{6} = 1.64493406685 ...      \]

 El problema de Basilea quedó definitivamente resuelto...

_________________________
Fuentes

Euler, el maestro de todos los matemáticos (William Dunham)

El Problema de Basilea: historia y algunas demostraciones

Viaje a través de los genios (William Dunham)

The Euler Archive



                         


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