12.4.17

El nacimiento de las funciones hiperbólicas (J.H. Lambert)

Debemos a Johann Heinrich Lambert (1728-1777)  la genialidad de definir las funciones hiperbólicas.
Después de que muchos matemáticos a lo largo de 100 años no lo lograran, Lambert percibió una dualidad en el comportamiento de la circunferencia (radio =1), la hipérbola equilátera (reducida), las funciones circulares (seno, coseno, ...) y las funciones hiperbólicas, que él iba a definir.

En la matemática prehelénica la trigonometría trataba de las medidas de los ángulos y lados de los triángulos. Los griegos extienden el estudio trigonométrico a las relaciones entre los ángulos centrales en un círculo y las longitudes de los arcos que subtienden. Se considera a Hiparco de Nicea (siglo II a.C.)  como el padre de la trigonometría por componer la primera tabla de trigonometría tomando como medida del ángulo central del círculo los 360º como hacemos en la actualidad (probablemente debido al uso que ya se hacía en la astronomía babilónica, cuyo sistema de numeración era sexagesimal y posicional).

Pero el actual concepto de seno es debido a los escritores de los Siddhantas (Sistemas astronómicos) , en la India en el siglo IV, quienes trataron el estudio de la correspondencia entre la mitad de la cuerda de la circunferencia y la mitad del arco central subtendido.

Así es cómo nace en la India el antepasado de la razón trigonométrica: seno de un ángulo. Serían los árabes, en el siglo IX, quienes decidirían seguir el camino hindú y además comenzarían a referir las razones trigonométricas sobre el círculo de radio unidad.

(figura 1) \[    \sin a = BC \] \[    \cos a = OB \]

(figura 2) (definición de Lambert)  \[    \sinh a = BC \] \[    \cosh a = OB \] 

 La genialidad de Lambert fue relacionar el ángulo a con el área del sector circular, así, el seno de un ángulo a podía ser reinterpretado como el seno de "el doble del área del sector circular". En efecto:

\[  \frac{a}{2 \pi }= \frac{area (a)}{\pi} \] 

Observó también la similitud de la expresión analítica de la circunferencia de radio unidad y la hipérbola equilátera (reducida): \(    x^2 +y^2 =1   \)  , \(    x^2 - y^2 =1   \)  

Y gracias a esta reinterpretación de las razones trigonométricas obtuvo la expresión analítica de las funciones hiperbólicas.


A(x,y)       B(0,y)     senh a = y      cosh a =x

Vamos a obtener, usando la definición de Lambert, la expresión del seno hiperbólico:

\(    \text{Area coloreada} = \int_{0}^{y} \sqrt{1+y^2} dy - \frac{1}{2}\left ( x\ y \right ) =  \frac{1}{2}\int_{0}^{y}\left ( \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \right )dy =  \frac{1}{2}\ ln\left ( y+\sqrt{1+y^2} \right )\)
(integrando por partes y operando)

El doble del área coloreada será:  \(    ln\left ( y+\sqrt{1+y^2} \right ) = a \) , según piensa Lambert.

Por tanto \(   e^{a}= y+ \sqrt{1+y^2}  \)

y trivialmente \( e^{-a}= \sqrt{1+y^2} -y  \)

De donde se deduce que  \( e^{a} - e^{-a} = 2y \), o lo que es lo mismo,  \[  \sinh a = y= \frac{e^{a}-e^{-a}}{2} \]

Finalmente, teniendo en cuenta que  \(   x =   \sqrt{1+y^2}   \), obtenemos  \( e^{a} + e^{-a} = 2x   \)

o lo que es lo mismo  \[  \cosh a = x= \frac{e^{a}+e^{-a}}{2} \]

A partir de las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico se obtiene la tangente hiperbólica por analogía con la trigonometría:
\[   \tanh a = \frac{\sinh a}{\cosh a}   \]

La funciones recíprocas de y= sinh a , x= cosh a se deducen de la definición:

\( \text{argsinh}\, y= a =  ln\left ( y+\sqrt{1+y^2} \right )  \)

\( \text{argcosh}\, x= a =  ln \left ( x+\sqrt{x^2-1} \right ) \)

Ver representaciones gráficas de las funciones hiperbólicas

Y es así, cómo Lambert cierra de una manera brillante el famoso problema de la catenaria, cuya expresión analítica sería un coseno hiperbólico. Y que tantos quebraderos de cabeza les había dado a los matemáticos del siglo XVII.

\[   f\left ( x \right )= a\cdot  cosh \left ( \frac{x}{a}  \right )     \]


En efecto, uno de los problemas que más preocupó a los matemáticos del siglo XVII era el de determinar curvas. Hasta ese momento se consideraba que una curva estaba determinada si se podía describir un procedimiento geométrico para construirla. Pero el método de coordenadas desarrollado por Descartes y Fermat permitía asociar este problema al de encontrar la ecuación de una curva mediante el uso de polinomios (curvas algebraicas). El propio Descartes fue consciente de que existían otro tipo de curvas (no algebricas) que denominó mecánicas.


 La curva catenaria
 

En 1690 Jakob Bernoulli publica en Acta Eruditorum, y plantea el problema de "determinar la forma que adopta una cuerda, flexible y homogénea, fijada por sus extremos y sometida tan solo a la acción de su propio peso".


A raíz del reto formulado por Jakob Bernoulli, Huygens encuentra la solución correcta por métodos geométricos, denominando a la curva resultante catenaria. Sin embargo, serán Johann Bernoulli y Leibniz, quienes lo resolverán mediante el uso del cálculo infinitesimal

Johann se jactaba de haber resuelto un problema para el que su hermano Jakob se había mostrado incapaz. A partir de este momento se origina una rivalidad entre los dos hermanos muy fructífera en el terreno científico pero penosa en el ámbito personal

 Galileo Galilei y el propio Descartes habían creído erróneamente que esta curva era una parábola. Lo que no resulta tan descabellado si tenemos en cuenta que el polinomio de Taylor de grado 2 (parábola) del coseno hiperbólico en x=0 , resulta ser una muy buena aproximación en un amplio entorno de x=0.

\[  \cosh x  \simeq  1+ \frac{x^2}{2}  \] 

Si  \(   h = \cosh x  - ( 1+ \frac{x^2}{2})  \)





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