13.9.17

Las CÒNICAS de Apolonio de Perga

Apolonio nació a mediados del siglo III a.C. en Perga. Se cree que estudió, o pasó largo tiempo, en Alejandría cuyo Museo y Biblioteca constituían en aquel tiempo el centro del saber occidental.

Apolonio pasó algún tiempo también en Pérgamo y en Éfeso. Parece ser que su período de plenitud tiene lugar durante el reinado de Tolomeo Filopator (222-205 a.C.).

¿Qué se sabía sobre las secciones cónicas antes de Apolonio? Las secciones cónicas se conocían desde hacía más o menos un siglo y medio antes.

Menecmo introduce estas curvas como secciones de un cono circular recto por un plano perpendicular a una generatriz.

La parábola fue llamada sección de cono rectángulo (ortotoma):


La elipse era la sección de cono acutángulo (oxitoma):


Y la hipérbola (solo se consideró una rama de ella) la sección de cono obtusángulo (amblitoma):

A finales del siglo IV existieron dos obras importantes. La primera es de Aristeo, el Libro de los lugares sólidos (aquéllos en los que aparecen las cónicas por intersección de cilindros y conos con planos). La segunda obra de interés fue de Euclides, cuatro libros cuyo contenido debió de ser en sus líneas fundamentales el que se encuentra en los cuatro primeros libros de las Cónicas de Apolonio.

Arquímedes se especializó en propiedades de la parábola. Los importantes resultados de Arquímedes acerca del área del segmento parabólico, aplicando el método de exhaución en la obra Sobre la Cuadratura de la Parábola y el método mecánico en la obra El Método pone de relieve el avanzado desarrollo de la teoría de las secciones cónicas en la época de Arquímedes, ya muy próxima a los tiempos en que Apolonio concibió las Cónicas.

Debido a la perfección de la obra de Apolonio, los tratados que sobre cónicas fueron escritos antes fueron desplazados y olvidados.

 Les coniques de Apollonius de Perge, Paul Ver Eecke, 1923


La obra de las Cónicas de Apolonio fue explicada por él mismo en el Libro I. Le escribe a Eudemo:

"Creo que no habrás olvidado, porque ya te lo he contado antes, que fue a instancias de Naucrates el geómetra, que fue mi huésped durante su estancia en Alejandría, por lo que me introduje en este campo y que, cuando él estaba a punto de embarcarse, me apresuré a ponerle al corriente de lo que yo había ya elaborado, en ocho libros, sin poner demasiado cuidado en su perfección, sino anotando todo lo que se me ocurría, con la intención de hacer una ulterior revisión. Ahora que he tenido la ocasión de establecer las cosas por sus pasos de una manera adecuada, las publico. Y puesto que sucede que algunos de los que han tratado conmigo han recibido los libros primero y segundo antes de que hubiesen sido revisados, no te extrañes de encontrar en ellos cuestiones tratadas de una manera diferente...".

Más tarde, ya en Pérgamo, Apolonio se tomó el tiempo necesario para perfeccionar uno a uno los ocho libros, lo que explica  que los libros del IV al VII comiencen con dedicatorias y agradecimientos al rey Atalo de Pérgamo.

Los cuatro primeros libros son descritos por Apolonio como una introducción elemental y se supone que la mayor parte del material había aparecido publicado en anteriores tratados sobre cónicas. Sin embargo, Apolonio nos dice expresamente que algunos de los teoremas contenidos en el Libro III son suyos propios, ya que Euclides no había dado un tratamiento completo de los lugares geométricos que aparecen en dicho libro. Apolonio afirma que los cuatro últimos libros son extensiones de la materia que van más allá de lo esencial.

   I.  Modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas.
   II. Diámetros, ejes y asíntotas.
   III.  Teoremas notables y nuevos. Propiedades.
   IV.   Número de puntos de intersección de cónicas.
   V. Segmentos de máxima y mínima distancia a las cónicas. Normal, evoluta, centro de curvatura.
   VI. Igualdad y semejanza de secciones cónicas. Problema inverso: dada la cónica, hallar el cono.
   VII. Relaciones métricas sobre diámetros.
   VIII. (Se desconoce su contenido).

Antes de Apolonio, la elipse, la parábola y la hipérbola se obtenían como secciones por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos distintos según que el ángulo en el vértice fuese agudo, recto u obtuso. Apolonio demostró por primera y de una manera sistemática que no es necesario considerar exclusivamente secciones perpendiculares a una generatriz del cono, y que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones cónicas sin más que variar la inclinación del plano que corta al cono; este paso fue importante para unificar los tres tipos de curvas.




Otra generalización importante se llevó a cabo cuando Apolonio demostró que el cono no necesita ser un cono recto, es decir, tal que su eje sea perpendicular al plano de su base circular, sino que puede igualmente tomarse un cono circular oblicuo. Se podría decir que Apolonio fue el primer geómetra que demostró que las propiedades de estas curvas son las mismas, se obtengan como secciones de conos oblicuos o de conos rectos.

Apolonio llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista más moderno al sustituir el cono de una sola hoja por un cono de dos hojas. Este cambio convierte a la hipérbola en la curva de dos ramas tal como la conocemos hoy. Hasta entonces los geómetras solían hablar de "las dos hipérbolas" en vez de "las dos ramas" de una hipérbola única, pero en cualquier caso el carácter dual de la curva fue reconocido claramente a partir de Apolonio.

Durante siglo y medio las cónicas fueron nombradas por el modo en que eran obtenidas: ortotoma, oxitoma, amblitoma. Según parece, Arquímedes utilizaba parábola como sinónimo de ortotoma. Apolonio elegiría los nombres de parábola, elipse, hipérbola, por sugerencia de Arquímedes; estas palabras ya tenían uso entre los pitagóricos para clasificar las soluciones de ecuaciones cuadráticas mediante áreas: ellipsis (deficiencia), hyperbola (avanzar más allá, exceso), parabola (colocar al lado, compararable).

Apolonio aplicaría estas palabras en un contexto nuevo, teniendo en cuenta las propiedades analíticas de las cónicas. Apolonio, a diferencia de los anteriores geómetras griegos, dio un paso importante al prescindir del cono, finalmente, para definir las cónicas. A partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental o "síntoma" de la sección, dando una condición necesaria y suficiente para que un punto esté sobre la curva. Fue a partir de ese momento que Apolonio abandona el cono y procede a estudiar las curvas por métodos planimétricos exclusivamente.

La parábola, referida al vértice, tiene la propiedad característica de que todo punto tomado sobre la curva, el área del cuadrado construido sobre su "ordenada y" es exactamente igual (comparable) al rectángulo construido sobre la "abscisa x" y cuya altura sea un parámetro " \(  l \) "denominado latus rectum: \(  y^{2}= l\cdot x      \)

La elipse, referida a uno de sus vértices, queda descrita por \(  y^{2}< l\cdot x     \) (deficiencia)

La hipérbola, referida a uno de sus vértices, queda descrita por  \(  y^{2} > l\cdot x  \) (exceso)

Los nombres escogidos por Apolonio fueron tan acertados que han quedado firmemente asociados a las cónicas hasta nuestros días.


En el Libro I desarrolla la teoría de los diámetros conjugados en una cónica y utiliza un par de diámetros conjugados como un sistema de coordenadas oblicuas, lo que equivaldría al uso actual de un par de rectas perpendiculares como ejes de coordenadas.

Apolonio demuestra que los puntos medios del conjunto de las cuerdas paralelas a un diámetro, de una elipse o hipérbola, están situados  sobre un segundo diámetro  y denomina a ambos: "diámetros conjugados".

Demostró que si se traza una recta por un extremo de un diámetro, de una elipse o hipérbola, que sea paralela al diámetro conjugado, entonces dicha recta será tangente a la cónica.

En el Libro II continúa el estudio de los diámetros conjugados y las tangentes. Muestra cómo trazar tangentes a una cónica usando la propiedad de la división armónica de un segmento.

Apolonio estaba especialmente orgulloso del Libro III:

" El tercer libro contiene muchos teoremas notables que son útiles para la síntesis de lugares sólidos y la determinación de límites; la mayoría de estos teoremas, y a la vez los más bellos, son nuevos, y cuando los descubrí pude observar que Euclides no había tratado la síntesis de los lugares geométricos con respecto a tres y cuatro rectas, sino solo los casos fáciles, y aún así sin éxito, porque era imposible completar esta síntesis sin contar con mis descubrimientos adicionales."

El lugar geométrico  con respecto a tres y cuatro rectas al que se refiere Apolonio trata de que "dadas tres rectas en un plano, hallar el lugar geométrico de un punto P que se mueve de tal manera que el cuadrado de la distancia de P a una de esas tres rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos; en el caso de cuatro rectas, el  producto de las distancias a dos de ellas  es proporcional al producto de las distancias a las otras dos, el lugar geométrico buscado es una sección cónica, real o imaginaria.

Pappus propondría una generalización de este teorema a n rectas.

Apolonio conocía  bien las propiedades de la hipérbola referida a sus asíntotas tomadas como ejes. En una proposición del libro aparece la hipérbola como lugar geométrico de puntos tales que x·y = constante, siendo x e y abscisa y ordenada respecto a las asíntotas.

El Libro IV trata de cuántas maneras pueden cortarse unas cónicas a otras. Fue en relación con el desarrollo de los teoremas de este libro que Apolonio hace un comentario que nos indica que en su época, lo mismo que hoy, había obtusos adversarios de la matemática que le preguntaban por la utilidad de tales resultados. Apolonio contesta orgulloso:

"Merecen ser aceptados a causa de sus propias demostraciones, de la misma manera que aceptamos muchas otras cuestiones en la matemática por esta misma razón y no por ninguna otra."

El Libro V está dedicado a estudiar segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica. Es el más sorprendente de todos sus libros. Se puede decir que en él Apolonio, 20 siglos antes que Huygens (Horologium Oscillatorium, 1673) introduce ya, a su modo, con instrumentos puramente sintéticos, nociones tales como normal a una curva, evoluta, centro de curvatura, etc,.. y logra obtener estos elementos para las cónicas de la manera más rigurosa.

Consideraciones de Apolonio en el prólogo al Libro V:

"En este libro quinto he expuesto proposiciones relativas a los segmentos de máxima y mínima distancia. Han de saber que mis predecesores y contemporáneos solo superficialmente han tratado la investigación de las líneas de distancia mínima y solamente han probado qué líneas rectas tocan a las secciones cónicas y qué propiedades tienen en virtud de ser tangentes. Por mi parte yo he probado estas propiedades en el Libro I.
Las proposiciones en las que trato los segmentos de distancia mínima las he separado en clases y he tratado cada una con una demostración cuidadosa. También he puesto en conexión estas cuestiones con las relativas a los segmentos de distancia máxima, porque consideraba que los que cultivan esta ciencia las necesitan a fin de obtener un conocimiento del análisis y discusión de los problemas así como de su síntesis. Por otra parte, esta materia es una de esas que parecen dignas de estudio por sí mismas."

Lo que en su día fue una bella teoría sin ninguna posibilidad de ser aplicada a la ciencia o tecnología de la época, ha llegado a ser un instrumento teórico fundamental en campos tales como la dinámica terrestre o la mecánica celeste.

Apolonio no estaba satisfecho con la definición de recta tangente a una curva por un punto P, los matemáticos griegos aceptaban que "era la recta que solo compartía el punto P con dicha curva"; por lo que evita definir la normal a una curva C por un punto Q como la recta que pasa por Q y es perpendicular a la recta tangente por el punto P. Apolonio opta por definir la normal basándose en la propiedad de que la distancia de Q a la curva C sea mínima o máxima medida sobre la normal. Así que la recta tangente sería la perpendicular a la normal.

En este libro Apolonio desarrolla el tema de las normales a una cónica hasta un punto tal que llega a dar criterios que le permiten decir cuántas normales se pueden trazar, desde un punto dado,  a una sección cónica. Estos criterios serían equivalentes a lo que hoy entendemos como evolutas de las cónicas (lugar geométrico de los centros de curvatura).

En la dedicatoria que hace de las Cónicas al rey Atalo de Pérgamo, en el Libro VI leemos:
"Dedicado a estudiar las proposiciones relativas a los segmentos de cónicas iguales y desiguales, semejantes y desemejantes, junto con algunas otras materias que no fueron tratadas por los que me precedieron. En particular, se encontrará en este libro cómo se puede obtener una sección de un cono recto igual a una sección cónica dada"
El Libro VII  retoma el tema de los diámetros conjugados y contiene muchas proposiciones nuevas relativas a los diámetros de las secciones cónicas y a las figuras construidas sobre ellos.

Destaca especialmente esta proposición:
"En toda elipse la suma, y en toda hipérbola la diferencia de los cuadrados construidos sobre dos diámetros conjugados cualesquiera es igual a la suma, o diferencia, respectivamente, de los cuadrados construidos sobre los ejes."

Sobre el Libro VIII, perdido, se ha formulado la conjetura  de que continuaría con el estudio de lo desarrollado en el Libro VII, esto se debe a que el propio Apolonio en la introducción del Libro VII afirma que los teoremas de ese libro van a ser utilizados en el Libro VIII para resolver determinados problemas sobre cónicas.

Las Cónicas de Apolonio constituyen un tratado de una amplitud y profundidad tan extraordinarias que sorprende notar que no aparezcan propiedades que a nosotros nos parecen fundamentales. Hoy los focos juegan un papel importante, sin embargo Apolonio ni siquiera les da nombres especiales a estos puntos y se refiere a ellos solo de manera indirecta. Se supone que estaba familiarizado con las propiedades de las cónicas referidas al foco y a la directriz, pero nada de esto se menciona en las Cónicas. Aunque el foco de la parábola aparece de manera implícita en muchos teoremas de Apolonio, no está claro que fuera consciente del papel de la directriz, tan evidente en la actualidad.
Apolonio sabía cómo determinar la cónica que pasa por cinco puntos pero está totalmente ausente de las Cónicas. Es posible que estas omisiones se deban al hecho de que fueran tratadas en otras obras que se han perdido.

Los métodos que utiliza Apolonio en las Cónicas son tan semejantes en muchos aspectos al planteamiento analítico moderno que su obra se ha considerado a menudo como una anticipación de la geometría analítica de Descartes en 1800 años. El uso de unas rectas de referencia en general y de un diámetro y una tangente en uno de sus extremos en particular, no difiere esencialmente del uso de un sistema de coordenadas rectangular u oblicuo. Las distancias medidas a lo largo del diámetro a partir de un punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente, interceptada por el diámetro y la curva, son las ordenadas. Las relaciones que expresa Apolonio entre estas abscisas y las ordenadas no son otra cosa que formas retóricas de las ecuaciones analíticas de las curvas.


La influencia de Apolonio en los geómetras griegos y árabes fue muy profunda. No en vano Apolonio fue llamado el Geómetra de la Antigüedad.

La obra de Apolonio comienza a filtrarse hacia Occidente lentamente a través de la matemática árabe.

Witelo, monje polaco establecido en Italia, escribe en 1260 un tratado de óptica, que en el fondo es un comentario al tratado de óptica del árabe Al-Hazen, que residió en la península ibérica en el siglo XI, y en el que se contienen diversas proposiciones geométricas de Apolonio.

De las Cónicas de Apolonio solo se conserva, en el original griego, los cuatro primeros de los ocho libros, y por suerte el matemático árabe Thabit ibn Qurra tradujo los tres libros siguientes al árabe antes de que desapareciera su versión griega.

El primer texto griego de las Cónicas que aparece en Occidente es el que Francisco Filelfo se trajo de Constantinopla a Venecia en 1427.

La primera versión al latín de los cuatro primeros libros de las Cónicas fue realizada por el matemático Juan Bautista Memo, en Venecia. Su sobrino Juan Maria Memo editó la obra en 1537.

En 1566, en Bolonia, Federico Commandino publica una segunda traducción de los cuatro primeros libros, basada en los textos griegos.

A partir de 1629 comienzan a conocerse en Occidente los primeros manuscritos árabes de la obra de Apolonio a través de Jacobus Golius, profesor de lenguas orientales en Leyden. El Padre Mersenne se hace eco de ello en una obra en 1644. Golius no llevó a cabo su proyecto, su colección se dispersó después de su muerte.

En 1655 aparece publicado, lo que constituía el ejercicio de moda en ese tiempo, la reconstrucción conjetural de obras perdidas de los clásicos. El Padre Claudio Richard publica en Amberes un comentario de los cuatro primeros libros sobre las Cónicas de Apolonio, basado en los textos de Memo y Commandino, seguido de otros cuatro libros que pretendían reconstruir el contenido de los cuatro libros de Apolonio desconocidos entonces en Occidente.

Mientras el geómetra Vincenzo Viviani en 1658 se ocupaba de reconstruir conjeturalmente el contenido de los cuatro libros desconocidos de Apolonio, otro geómetra italiano, Giovanni Alfonso Borelli, encontró en la biblioteca de los Médicis, en Florencia, un manuscrito árabe, probablemente de la colección de Golius, que contenía los libros V, VI y VII de las Cónicas, una versión resumida y más o menos retocada por el matemático persa Abalphat de Ispahan, en 994. Borelli hizo traducir el libro de Abalphat al latín y lo publicó con numerosos comentarios en Florencia, en 1661.

La primera versión completa en árabe de los libros V, VI, VII, aparece publicada en Occidente al comienzo del siglo XVII en Irlanda, en un manuscrito que los herederos de Jacobus Golius habían vendido al obispo de Armagh. Se trataba de la traducción del griego al árabe realizada en el siglo IX por Thabit ibn Qurra, en Bagdad.

En 1675 Isaac Barrow publicó en Londres un manual de geometría en el que condensaba los cuatro primeros libros de Apolonio, además de otras obras de Arquímedes y de Teodosio.

En 1704 Edmund Halley sustituyó a James Gregory como profesor de geometría en Oxford. Gregory había traducido los Elementos de Euclides y en 1703 los había publicado en latín y griego. Gregory y Halley se habían propuesto traducir y publicar los siete libros de las Cónicas de Apolonio. Con tal fin Halley decidió aprender árabe. Muerto Gregory, Halley emprende en solitario la conclusión de la publicación de los siete libros conservados de las Cónicas y en 1710 aparece la obra. Se compone de tres partes. La primera contiene el texto griego de los cuatro primeros libros, junto con la versión latina de Commandino. La segunda parte comprende la traducción latina de los libros V, VI, VII, basada en la versión árabe de Thabit ibn Qurra y una reconstrucción conjetural del libro VIII hecha por Halley. La tercera parte contenía el texto griego y una versión latina de los dos libros de Serenus Antinsensis sobre la sección del cilindro y del cono.

La única traducción completa de las Cónicas (francés), fue publicada en Brujas en 1923, realizada por Paul Ver Eecke. La versión está precedida por un extenso comentario sobre lo que acerca de Apolonio se conoce hoy día, así como sobre el rastro de su obra a lo largo de la historia.

Les coniques de Apollonius de Perge, Paul Ver Eecke, 1923

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ALBERTO DURERO ( 1471-1528)
  Eierlinie (línea de huevo) de Durero. La Geometría de Alberto Durero

El pintor Alberto Durero expuso en un Tratado, un método original para trazar secciones cónicas. En vez de investigar las propiedades matemáticas de la parábola, la hipérbola y la elipse, Durero intentó construirlas igual que había intentado construir espirales y epicicloides; y lo logró mediante
la ingeniosa aplicación de un método conocido por todo arquitecto, pero que hasta entonces no se había aplicado nunca a la solución de un problema puramente matemático, y menos aún al problema de las secciones cónicas: el método de la proyección paralela.

Debido a que Durero no contaba con expresiones en alemán para referirse a las secciones cónicas ideó sus propios nombres, a la elipse la denominó Eierlinie (línea de huevo), a la parábola Brennlinie (línea de incandescencia) y la hipérbola sería  Gabellinie (línea en horca).



Esferas de Dandelin (Geogebra) 

Dandelin demostró geométricamente mediante esferas inscritas en el cono, las principales propiedades de las secciones cónicas.

El foco (focos) de la cónica queda determinado por el punto de tangencia de la cónica con la esfera; además la directriz (directrices) resulta de la intersección del plano de la sección cónica con el plano que pasa por los puntos de contacto de la esfera con el cono.





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Fuentes

APOLONIO ( Miguel de Guzmán)

Apolonio, el Geómetra de la Antigüedad

Las cónicas y sus aplicaciones  

Historia de la Matemática (Carl B. Boyer)

Viaje a través de los genios (William Dunham)

El legado de las matemáticas: de Euclides a Newton

 

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