4.12.17

Función Gamma, función Beta, logaritmo, serie armónica y constante ɣ de Euler

Se atribuye el entusiasmo de Leonhard Euler por la Teoría de números a la influencia de Christian Goldbach, que estaba en la Academia de San Petersburgo en 1727 cuando Euler llegó. Poco después Goldbach se traslada a Moscú y desde allí intercambia correspondencia con Euler.

Precisamente, la función Gamma fue descubierta en 1729 entre la correspondencia de Leonhard Euler (que tenía 22 años) y Goldbach. Actualmente, la función Gamma aparece en múltiples ramas de las Matemáticas, desde la teoría de Ecuaciones diferenciales hasta la Estadística; pero su origen se encuentra en la confluencia de un problema de teoría de interpolación con otro de cálculo integral.

El problema de interpolación que dio vida a la función Gamma pasó por las manos de varios matemáticos de la época: Goldbach, Daniel Bernoulli y, antes que ellos, James Stirling, sin dar apenas frutos. 

Sin embargo, todo cambió cuando el asunto llegó hasta Euler. Anunció su solución a Goldbach en sendas cartas, datadas el 13 de octubre de 1729 y el 8 de enero de 1730. En la primera carta Euler alude al problema de interpolación, mientras que la segunda versa sobre el de integración y conecta ambos problemas. En realidad, Euler transmitió a Goldbach tan solo un esbozo de la solución, que no detallaría hasta un año más tarde en su artículo De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt

El problema planteado por Goldbach trataba de la sucesión: \(  \left \{ 1, 1\cdot 2,1\cdot 2\cdot 3,1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,... \right \} \) conocida como la sucesión de factoriales: 1!, 2!, 3!,.... ¿es posible obtener una fórmula sencilla para calcular factoriales?, ¿es posible interpolar entre dos factoriales?, ¿qué debería significar 5,5!? La solución de la interpolación factorial escapa del álgebra básica; se hace necesario el uso de procesos infinitos. 

Para apreciar mejor el problema al que se enfrentó Euler, vamos a actualizarlo a un lenguaje más accesible: se trataría de encontrar una función razonablemente simple que en cada entero 1, 2, 3,. . . tome como valor el factorial asociado 1, 2, 6,. . . . 

Así, dados los puntos (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24),... , el problema de interpolación consistiría en encontrar una curva que pase a través de todos esos puntos. En la época de Euler el concepto de función estaba asociado con una fórmula (expresión analítica), entendiendo como tal, cualquier expresión que pudiera ser deducida mediante manipulaciones elementales: sumas, productos, potencias, logaritmos, etc. En definitiva, la tarea de Euler consistía en encontrar una expresión analítica que para cada entero positivo tomara el valor del factorial correspondiente. 


 



Aparentemente, mientras Euler experimentaba con productos infinitos de números, desembocó por casualidad en el siguiente resultado, si m es un entero positivo, entonces:
\[ \frac{1\cdot 2^{m}}{1+m}\cdot \frac{2^{1-m}\cdot 3^{m}}{2+m}\cdot \frac{3^{1-m}\cdot 4^{m}}{3+m}\cdot \frac{4^{1-m}\cdot 5^{m}}{4+m}\cdot \cdot \cdot = m!   \]

Operando resulta:
\[  \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n!\cdot \left ( n+1 \right )^{m}}{\left (1+m \right )\cdot \left (2+m \right )\cdot \cdot \cdot \cdot \left ( n+m \right )} = m! \]

 Para \(m =2\) , operando, obtenemos el límite:
\[   \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2\cdot (n+1))}{n+2}=2 =2! \]

Para \(m =3\):
 \[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{6\cdot \left ( n+1 \right )^{2}}{\left ( n+2 \right )\cdot \left ( n+3 \right )}=6=3!  \]

Euler había resuelto el problema en el que fallaron ilustres matemáticos de su época.


Euler observó algunas propiedades de este producto. Para m entero el resultado era un número entero, mientras que para otros valores, por ejemplo \( m=\frac{1}{2} \) , proporcionaba una expresión que involucraba al número \( \pi =\frac{p}{d}\). La aparición de π le sugiere a Euler los círculos y sus cuadraturas, y las cuadraturas significan integrales.

Euler estaba familiarizado con ciertas integrales que cumplían propiedades similares a las mencionadas, lo que le indujo a buscar una transformación que le permitiera expresar el factorial como una integral.

Tomó entonces la integral \( \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx  \) .

Casos particulares de esta integral ya habían sido estudiados por Wallis, Newton y Stirling. Era una integral complicada de manejar, ya que el integrando no siempre admitía una primitiva elemental como función de x. Suponiendo que n es un número entero y α un valor arbitrario, Euler desarrolló \( \left ( 1-x \right )^{n}\) mediante el teorema binomial.

Y sin mucha dificultad encontró la siguiente identidad:
 \[   \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx  =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( \alpha +1 \right )\cdot \left ( \alpha +2 \right )\cdot \cdot \cdot \left ( \alpha +n+1 \right )} \]

La idea de Euler consistía ahora en aislar el numerador, n!, para  expresarlo como una integral.

El proceso para conseguirlo fue laborioso. Comienza suponiendo que \(α = \frac{a}{b}\). Obtiene, operando:
 \[  \int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\left ( 1-x \right )^{n}dx  =\frac{ b^{n+1}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )\cdot \left ( a+\left ( n+1 \right )b \right )} \]


Y despejando:
  \[  \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\cdot \left ( 1-x \right )^{n}dx \]

Sustituye \(x\) por  \(x^{\frac{b}{a+b}} \) y por tanto \( dx \) será \(\frac{b}{a+b}\cdot x^{\frac{-a}{a+b}}\cdot dx \), además \(x^{\frac{a}{b}}\) será \(x^{\frac{a}{a+b}}\).

Obtiene así: 
  \[   \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int \frac{b}{a+b }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{\left (a+b  \right )^{n+1}}\int \frac{(a+b)^{n}}{b^{n} }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx \]

Euler observa que si a=1, b=0:
 \[ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int \frac{1}{0^{n}}\cdot \left ( 1-x^{0}\right )^{n}  dx=\int \left ( \frac{1-x^{0}}{0} \right )^{n}dx\ \]

 Considera ahora que \(y\) es próximo a 0, y resuelve la indeterminación mediante L'Hôpital:

  \[ \frac{1-x^{0}}{0}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{1-x^{y}}{y}=\lim_{y\rightarrow 0}\dfrac{-x^{y}\cdot ln(x)dy}{dy}=\lim_{y\rightarrow 0}-x^{y}\cdot ln\left ( x \right )=-ln(x) \]

Así obtuvo lo que buscaba, la expresión de \(n! \) mediante una integral, que pudiera generalizarse a valores no naturales:
  \[ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx\]

Cronológicamente hablando, esto nos sitúa, aproximadamente, en el año 1750. La extensión de la función Gamma a los números negativos y posteriormente a los números complejos, se produjo a principios del siglo XIX y formó parte del desarrollo general de la Teoría de funciones de variable compleja que habría de configurar uno de los grandes capítulos de las Matemáticas.

El matemático francés Adrien-Marie Legendre, en 1809, denominó integral euleriana de primera especie, \( \beta \), a la integral con la que Euler inició su deducción del valor de \(n! \), que hoy conocemos como función Beta:
  \[  \beta \left ( m,n \right )= \int_{0}^{1}x^{m-1}\cdot \left ( 1-x \right )^{n-1}dx \]

Así mismo, Legendre denominó integral euleriana de segunda especie,  \( \Gamma \):
  \[  \Gamma\left ( x \right )=\int_{0}^{\infty }e^{-t}\cdot t^{x-1}dt \]

Verifica la relación de recurrencia:  \( \Gamma (x+1)= x\cdot \Gamma (x)  \), fácil de comprobar mediante integración por partes. Además \( \Gamma (1)= 1\), de todo esto se deduce que \( \Gamma (n+1)= n!\).


 \[  \Gamma\left ( n+1 \right )= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx = n! \]

En los años posteriores a Euler se estudiaron en profundidad las funciones Gamma y Beta, y su mágica relación:

\[  \beta \left ( m,n \right )=\frac{\Gamma \left ( m \right )\cdot \Gamma (n)}{\Gamma \left (m+n  \right )} \]

 http://www.theeuropeanlibrary.org/images/expothumbs/93670/9c515bfe47e41f59e83378d9aa188860.jpg

En 1748 Euler publica Introductio in Analysin Infinitorum en dos volúmenes (E101, E102).
La Introductio de Euler resultó trascendente, afectando a las matemáticas posteriores en contenido, estilo y notación. Euler da una definición exacta de función que difiere algo del concepto moderno:

"Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma, cualesquiera que sean la cantidad variable y las cantidades constantes".

 Pero Euler fue más allá de dar esa definición, destacó aquellas funciones que han sido utilizadas como los bloques esenciales para construir el Análisis: polinómicas, trigonométricas, exponenciales y la función logaritmo.

Fue Euler el primero que entiende la función logaritmo como la inversa de una función exponencial y no un mero instrumento de cálculo.

Es importante recalcar que las tablas de logaritmos habían aparecido un siglo antes de que Euler naciera. Una tabla de logaritmos fue, desde esa época hasta mediados del siglo XX, lo que las calculadoras y el ordenador son en la época moderna: un gran invento para ahorrar tiempo en los cálculos tediosos. Transformaban la multiplicación y la divisón en simple adicción o sustracción.

El término logaritmo fue acuñado por Napier en el siglo XVII. Henry Briggs, profesor de geometría en Oxford, visitó a Napier en Edimburgo y después de discutirlo, llegaron a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1. Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs. 

La tarea de construir la primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs, fue una labor tediosa que la siguiente generación de matemáticos mejoraría usando series infinitas. Los primeros pasos en el nuevo cálculo logarítmico fueron dados por Gregoire de Saint Vicent, quien sugirió que existía relación entre los logaritmos y el área bajo un segmento de hipérbola.


  Ahora sabemos que el área bajo un segmento de hipérbola viene dado por el logaritmo natural.

 \[   \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\cdot dt= ln (x)   \]

Serán Mercator y Newton quienes aproximarán estas áreas hiperbólicas mediante series, y por tanto los logaritmos.

Newton obtuvo que:

\[ ln(1+x)= \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\cdot dt=\int_{0}^{x} (1-t+t^{2}-t^{3}+...)= x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-...     \]

Euler conoció los métodos de Newton y Mercator para aproximar valores de logaritmos mediante series, y lo mejoró. Euler observó que esa serie no aproximaba los logaritmos con la eficiencia deseada. Así que realiza un cambio, sustituye \(x\)  por \( -x \) : 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]

Restando ambas expresiones obtuvo:

 \[ ln(1+x) - ln (1-x) = 2x+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}+...\]
\[  ln\frac{1+x}{1-x}=2\cdot \left [x+ \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+... \right ]    \]

Euler afirmó que esta serie era fuertemente convergente para valores pequeños de x y que transformaría el cálculo de logaritmos decimales en una labor sencilla. Fue Euler el que, además, había demostrado la "regla de oro de los logaritmos", es decir, la relación entre logaritmos de distintas bases:  \(  \log_{10}(b) = \dfrac{ln (b)}{ln (10)} \).

Así, si  \(  x=   \dfrac{1}{3}   \), se podría calcular fácilmente  \(  ln(2)  \):
\[  ln  \dfrac{4}{2} = ln(2) = 2\cdot \left [ \frac{1}{3}+ \frac{1}{81}+\frac{1}{1215}+... \right ] = 0,693135     \]

Si \(  x=   \dfrac{1}{9} \) obtenemos
 \[  ln  \dfrac{5}{4} = 2\cdot \left [ \frac{1}{9}+ \frac{1}{2187}+\frac{1}{295245}+... \right ] = 0,223143    \]
Por tanto 
\[ ln(5)= ln (4 \cdot \dfrac{5}{4})= 2\cdot ln(2) + ln  \dfrac{5}{4} = 1,609413 \]

Finalmente:

\[log(5)=\dfrac{ln (5)}{ln (10)}= \dfrac{ln (5)}{ln (5)+ln(2)}= \dfrac{1,609413}{2,302548}=0,698970 \]
Para Euler, los logaritmos eran una de las herramientas principales del Análisis, aparecen una y otra vez a lo largo de su fructífera obra. Fue así como Euler encontró una relación entre los logaritmos y la serie armónica, y en este camino descubrió una de las constantes más omnipresentes de todas las matemáticas, la constante "gamma de Euler", ɣ.


La serie armónica \(   \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}     \) escondía tras su sencilla apariencia su carácter, la serie diverge hacia infinito. Este comportamiento era conocido mucho antes de que Euler naciera, lo había demostrado Jakob Bernoulli en Tractatus de seriebus infinitis.


Tractatus de seriebus infinitis (páginas 250, 251)

Euler se sintió atraido por la serie armónica y también realizó una demostración de la divergencia, en su Introductio

Parte de su expresión 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]
haciendo  \(  x=1   \)
 \[ ln (0) = - (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... )\]
Por tanto 
\[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}  = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... = - ln(0)=ln(\frac{1}{0})=ln ( \infty) =  \infty  \] 
Queda demostrado.
Porque, Euler dice: "el logaritmo de un número infinito es infinito". 
Así Euler conecta la propiedad de la serie armónica con el logaritmo.

Decide profundizar...

Comienza tomando \( x=\frac{1}{n} \) que sustituye en la expresión de la serie obtenida por Newton:
\[  ln(1+ \frac{1}{n})= \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{3n^{3}}-\frac{1}{4n^{4}}- ...   \]

Por tanto
\[ \frac{1}{n}= ln(  \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}-...    \]

Sustituye \( n=1, 2, 3, 4,... \) obteniendo:

\[ 1 = ln(2) + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}-... \]
\[ \frac{1}{2}=ln( \frac{3}{2})+ \frac{1}{8}-\frac{1}{24}+\frac{1}{64}-...     \]
\[\frac{1}{3}= ln(\frac{4}{3}) + \frac{1}{18}-\frac{1}{81}+\frac{1}{324}-...   \]
.............................................................
\[\frac{1}{n}=ln( \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}- ...\]

Sumando por columnas:

\[  \sum_{1}^{n }\frac{1}{k}  = ln(2) +ln( \frac{3}{2})+ ln(\frac{4}{3})+...+ln( \frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...  \]
Obtiene:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot \cdot \cdot\frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]
Es decir:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]   
Euler calcula aproximadamente el resto de la serie que aparece en la expresión y obtiene la estimación: 0,577218.

\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+0,577218  \]

En consecuencia, para un valor alto de n, la suma parcial de la serie armónica es la suma de un logaritmo más una constante, este número se representa por la letra griega ɣ.

 ɣ es conocida como constante de Euler, no confundir con el número de Euler \( e=2,7182... \)

Su definición exacta es \[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n+1) \right ]    \]

En la actulidad esta constante se define:
\[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n) \right ]    \]
lo que no supone ninguna diferencia, en cuanto a su valor como límite.


  \(  \gamma , \pi ,e\) aparecen por sorpresa en muchas cuestiones del Análisis superior.

\[  e^{\frac{\gamma }{2}}=\frac{\sqrt{2\pi }}{e}\prod_{1}^{n}e^{\frac{1-2n}{2n}}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}    \]
\[  \gamma=-\int_{0}^{\infty }e^{-x}\ln(x) \]

\[\gamma=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{n^{x}}-\frac{1}{x^{n}} \right ) \]

Finalmente, la relación entre \(\Gamma\) y \(\gamma \), siendo   \(\Gamma (n)= (n-1)!\):

\[\gamma =\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \frac{\Gamma (\frac{1}{n})\cdot \Gamma (n+1)\cdot n^{\frac{n+1}{n}}}{\Gamma (2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^{2}}{n+1}\right ] \]

A día de hoy sigue sin demostración su carácter irracional o racional. Es admitido universalmente que es un número irracional.

El geómetra italiano Mascheroni en su obra Adnotationes ad calculum integrale Euleri, calculó el valor de  ɣ con 32 decimales, unos años más tarde Johann Georg von Soldner dio a conocer una aproximación que difería de la de Mascheroni a partir de la vigésima cifra decimal. Algo tan desconcertante que Gauss encargó que un calculista infatigable, F.B.G. Nicolai, resolviera el conflicto numérico. Calculó ɣ  con 40 decimales, finalmente Soldner tenía razón y Mascheroni estaba equivocado. Pero el hecho de que hubiera calculado mal su valor no impidió que en la actualidad ɣ se conozca como la constante de Euler-Mascheroni, ello se debe a que fue Mascheroni quien bautizó a este enigmático número con el nombre ɣ.

En el año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales...

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Fuentes
Euler, El maestro de todos los matemáticos (William Dunham)
Euler y la Teoría de números
Las funciones eulerianas Gamma y Beta complejas
Euler's Correspondence with Christian Goldbach 
The Euler Archive

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