9.5.17

James Clerk Maxwell, electricidad, magnetismo y la velocidad de la luz



 Ley de Gravitación Universal de Newton:

\(     F_{g}= G\cdot \dfrac{M_{1}\cdot M_{2}}{r^{2}}   \)

siendo G constante de gravitación universal, hallada de manera implícita en 1798 por Henry Cavendish, a través de su experimento de la balanza de torsión.

http://laplace.us.es/wiki/images/4/48/Campo-dipolo-electrico.png

Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) describe matemáticamente la Ley de atracción entre cargas eléctricas:  

\(     F_{e}= K_{e}\cdot \dfrac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{r^{2}}   \)

siendo \(   K_{e}=9\cdot 10^{9}\ \dfrac{N m^{2}}{C^2} \) constante relacionada con la permitividad del vacío, \(\varepsilon_0\).

Así se obtuvo que la electricidad obedecía a una ley semejante a la de ley de la gravitación universal de Newton.

https://fuches.files.wordpress.com/2009/02/campo_magnetico.jpg

Ley de atracción entre polos magnéticos:

 \(     F_{m}= K_{m}\cdot \dfrac{P_{1}\cdot P_{2}}{r^{2}}   \)

siendo  \(   K_{m}=1\cdot 10^{-7}\ \dfrac{N s^{2}}{C^2} \) constante relacionada con la permeabilidad magnética del vacío, \(  \mu _0 \).

El descubrimiento en 1820 del nexo entre electricidad y magnetismo se lo debemos a Hans Christian Ørsted (1777-1851). Pero será James Clerk Maxwell (1831-1879) quien comprenda la trascendencia de ese nexo. Maxwell  observa la dualidad de las expresiones matemáticas e intuye que ambas constantes, \(   K_{e}\) y \(   K_{m}\) deben de estar relacionadas, en efecto, el cociente de ambas ofrece un resultado sorprendente: 

\(     \dfrac{K_{e}}{K_{m}} = 9 \cdot 10^{16} \dfrac{m^2}{s^2}= (3  \cdot 10^{8})^2 \ (  \dfrac{m}{s})^2 \)


En 1850 Jean Léon Foucault midió la velocidad de la luz:  \(     c= 298.000\ km/s \approx 3\cdot 10^{8} \ m/s   \). Por lo que Maxwell concluye que el cociente de ambas constantes,  \(   K_{e}\) y \(   K_{m}\),  es el cuadrado de la velocidad de la luz.

\(  c^2 =   \dfrac{K_{e}}{K_{m}} = \dfrac{1}{\mu_0\,\varepsilon_0}    \)

Antes que Maxwell, los físicos alemanes, Wilhelm Eduard Weber y Rudolph Kohlsrauch, habrían obtenido ese sorprendente resultado, sin otorgarle la importancia que finalmente tuvo este hallazgo.  

Pero fue Maxwell quien comprendió que los campos eléctrico y magnético se crean mutuamente cuando se mueven juntos dando lugar a una onda que se desplaza a la velocidad de la luz (\(c\)). Es decir, llegó a la conclusión de que la luz es una onda electromagnética.

http://static.cice.es/wp-content/uploads/2013/11/comportamiento-fisico-luz.jpg

El descubrimiento de Maxwell, en aquel momento puramente teórico, llevaría a que las imágenes y sonidos del siglo XX se irradiasen a través del espacio, no solo en forma de luz visible sino también como ondas radiofónicas, microondas y ondas de todo el espectro electromagnético.

Primera ecuación de Maxwell

Segunda ecuación de Maxwell

Tercera ecuación de Maxwell

Cuarta ecuación de Maxwell 

Ecuaciones de Maxwell

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 Gravedad, electricidad y magnetismo. Medición de las constantes eléctrica y magnética. El Universo Mecánico
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Las Ecuaciones de Maxwell. El Universo Mecánico

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En 1926 Albert Michelson midió con precisión el tiempo que la luz tardaba en recorrer la distancia entre dos picos de montaña, en Los Angeles, y obtuvo que:

\(     c= 299.796±4\ km/s \approx 3\cdot 10^{8} \ m/s   \)

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La serie documental El Universo Mecánico [The Mechanical Universe] consta de 52 capítulos, "lecciones magistrales" impartidas por David Goodstein en 1985 [California Institute of Technology].

Una exposición amena y 'divertida' de los fundamentos de la Física contextualizados históricamente. Se complementa con la ayuda de animaciones y experimentos. Duración aproximada de cada 'lección magistral' 30 minutos.


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7.5.17

INTEGRACIÓN (El Universo Mecánico)






La serie documental El Universo Mecánico [The Mechanical Universe] consta de 52 capítulos, "lecciones magistrales" impartidas por David Goodstein en 1985 [California Institute of Technology].

Una exposición amena y 'divertida' de los fundamentos de la Física contextualizados históricamente. Se complementa con la ayuda de animaciones y experimentos. Duración aproximada de cada 'lección magistral' 30 minutos.

29.4.17

La curva braquistócrona de Johann Bernoulli

Los métodos infinitesimales de Leibniz (1646-1716) ejercerían una profunda influencia en los matemáticos europeos continentales. En particular, su discípulo suizo Jakob Bernoulli (1654-1705) publicaría en mayo de 1690 un trabajo en la revista Acta Eruditorum donde establece la propiedad tautócrona de la cicloide haciendo uso del cálculo diferencial e integral. La curva cicloide se define como el lugar geométrico de un punto fijo de una circunferencia que gira sin deslizamiento a lo largo de una recta. Siendo \(    \theta     \) el desplazamiento angular de una circunferencia de radio R, se obtienen las ecuaciones paramétricas:


\(  x= R\ (\theta - \sin \theta )  \)
\( y= R\ (1-\cos \theta )  \)


Imagen (si ves este texto, recarga la página)

En junio de 1696, Johann Bernoulli, hermano de Jakob, se había trasladado a Groningen (Holanda) para ocupar la cátedra de matemáticas de aquella universidad, y propone en Acta Eruditorum el problema de la braquistócrona:
 "determinar la curva, entre las infinitas posibles, por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no están ni en posición vertical ni horizontal, movido únicamente por efecto de la gravedad". 
Brachistochrone
Braquistócrona (círculo) / Galileo Galilei


El problema de la curva de tiempo más breve (braquistócrona) ya había sido considerado cerca de setenta años antes por Galileo Galilei, quien, sin poseer la potente herramienta del cálculo infinitesimal de Leibniz , había propuesto (erróneamente) que dicha curva debía de ser un arco de circunferencia.

El reto lanzado por Johann, iba dirigido a los más brillantes matemáticos del mundo. El propio Johann había añadido el inquietante dato de que dicha curva era bien conocida entre los matemáticos. El plazo para la recepción de soluciones fue establecido hasta finales de 1696, aunque Johann aseguraba que "media hora de profunda reflexión sería más que suficiente para una mente capaz". En total se recibieron cuatro propuestas de solución de Leibniz, el marqués de L´Hôpital, y los dos hermanos Jakob y Johann Bernoulli. Todas las soluciones propuestas, a excepción de la de L'Hôpital, establecían que la curva braquistócrona era una curva cicloide.

El método de resolución propuesto por Jakob Bernoulli era mucho más general que la solución propuesta por su hermano Johann, y ejerció una profunda influencia en Leonhard Euler, quien, junto a Lagrange, instauraría las bases del Cálculo de Variaciones.


 

Newton publicó de manera anónima su solución al reto de Bernoulli en Philosophical Transactions, una brillante y escueta propuesta que concluía que la curva braquistócrona era la cicloide.



Johann Bernoulli (1667-1748)

La maravillosa solución dada por Johann Bernoulli apareció en Acta Eruditorum bajo el nombre “La curvatura de un rayo en un medio no uniforme”.

Johann tomará en consideración un problema de óptica aparentemente sin relación con el problema de la braquistócrona. Conocía el Principio del menor tiempo de Fermat: "la luz va de un punto A a un punto B siguiendo la trayectoria que requiere el menor tiempo". Este principio se aplica para  encontrar la trayectoria de un rayo de luz en un medio de densidad variable, donde, en general, la luz se desplazará en curvas en lugar de líneas rectas, debido a la variación de la velocidad.


Suponiendo un medio óptico estratificado, en cada capa la velocidad de la luz es constante, y la velocidad varía de capa a capa. En el caso de que la velocidad del rayo de luz que desciende aumentara, se refractará cada vez más alejado de la vertical. Aplicando la ley de Snell

 \(   \dfrac{\sin \alpha _{1}}{v_{1}}= \dfrac{\sin \alpha _{2}}{v_{2}}= \dfrac{\sin \alpha _{3}}{v_{3}}   = ...\)

Si se considera que las capas son cada vez más delgadas y numerosas, entonces, en el límite, la velocidad de la luz, conforme desciende el rayo verificará: 

\(  \dfrac{\sin \alpha }{v}=constante \)

Johann supone que un cuerpo que desciende de A a B, puede escoger la trayectoria como lo hace un rayo de luz, empleando el menor tiempo posible. Además, por el Principio de conservación de la energía, la velocidad alcanzada en un nivel dado queda determinada por su pérdida de energía potencial que se transforma en energía cinética  \(  \frac{m v^{2}}{2} = mgy\) , es decir, la velocidad es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia desde donde cae: \(   v=\sqrt{2gy} = k· \sqrt{y}   \); por tanto \(  sin \alpha=K· \sqrt{y} \)


 \( y=f(x)  \) ;  \(\tan \beta = \frac{dy}{dx}   \)    ;  \(  \alpha + \beta=90º \)

\( sin\alpha = cos\beta = \dfrac{1}{sec\beta }=\dfrac{1}{\sqrt{1+tan^{2}\beta }} =\dfrac{1}{\sqrt{1+\left ( \dfrac{dy}{dx} \right )^{2}}} = K· \sqrt{y} \)

Obtenemos:  \( y \left [ 1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2 \right ] = C  \)  ecuación diferencial de la braquistócrona, según Johann Bernoulli.

\(  dx= \left ( \dfrac{y}{C-y} \right )^\frac{1}{2}dy \)

Efectuamos el cambio de variable \(   \tan\phi = \left ( \frac{y}{C-y} \right )^\frac{1}{2} \) ;  

\(dx=\tan\phi ·dy   \)

 \( y= (C-y) \tan^2\phi  \)

 \(  y· (1+\tan^2\phi) = C · \tan^2\phi \) 

 \(   y= C \cdot\sin^2\phi \) 

 \(   dy= 2C · \sin\phi ·\cos\phi · d\phi\)

 \(dx=\tan\phi ·dy=2C· \sin^2\phi ·d\phi = C(1-\cos 2\phi) d\phi  \)

Integrando:

 \( x= \frac{C}{2}\left ( 2\phi-\sin2\phi \right )+C_{1} \)

imponiendo las condiciones iniciales \(  (x,y)= (0,0) ; \phi=0 \) obtenemos \(C_{1}=0   \)

Por tanto \( x= \frac{C}{2}\left ( 2\phi-\sin2\phi \right )\)

Además  \(   y= C · \sin^2\phi=  \frac{C}{2}\left ( 1-\cos2\phi \right ) \)

Si efectuamos el cambio \(   \frac{C}{2} =R \) ; \( 2\phi=  \theta  \) obtenemos las ecuaciones paramétricas de la cicloide:

\( x= R (\theta-\sin \theta)  \)

\(  y= R (1-\cos \theta)  \)

  

(Tomado de Ecuaciones Diferenciales, George F. Simmons)

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Around the brachristochrone problem

Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral (I)

Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral (II)

Acta Eruditorum: Leibniz's Papers on Calculus



27.4.17

HISTORIA de la CICLOIDE



Imagen (si ves este texto, recarga la página)

La curva cicloide se define como el lugar geométrico de un punto fijo de una circunferencia que gira sin deslizamiento a lo largo de una recta. Siendo \(    \alpha     \) el desplazamiento angular de una circunferencia de radio R, se obtienen las ecuaciones paramétricas:


\(  x= R\cdot (\alpha -\sin \alpha )  \)
\( y= R\cdot (1-\cos \alpha )  \)

El filósofo y teólogo francés Charles de Bouvelles (1471-1553) fue pionero en trabajar con la curva cicloide, estudiaba la relación de esta curva con el problema de la cuadratura del círculo.

Galileo acuña el término cicloide para esta curva y se encarga de estudiar por primera vez el área que encierra un arco de dicha curva en base a consideraciones de carácter mecánico. En particular, Galileo efectuó la comparación entre el peso de dos figuras, hechas de idéntico material, para la región que encierra un arco de cicloide y la región circular de la circunferencia que genera a la cicloide, habiendo hallado que los pesos correspondientes se encontraban en una razón aproximada de 3 a 1, pero decidió que no podía ser exactamente 3, ya que intuía (erróneamente) que dicha razón no debía ser un número racional. En carta fechada el 24 de febrero de 1640, Galileo escribe a Bonaventura Cavalieri (1598-1647), mostrando la elegancia de la curva cicloide y proponiéndola como modelo ideal para soportar los arcos de un puente.

En el siglo XVII, el monje francés Marin Mersenne (1588-1648) había establecido la igualdad entre la longitud de la circunferencia generatriz y la base de un arco de cicloide. Marin Mersenne mantenía correspondencia habitual con matemáticos como Pierre de Fermat (1601-1665) y Galileo. A partir de 1623, Mersenne organizó reuniones matemáticas semanales en París creando un excelente ambiente de investigación matemática.

Hacia 1628, Roberval (1602-1675) llega a París e ingresa en la academia de Mersenne, que rápidamente reconoce el talento de Roberval y le propone estudiar la cicloide.



Hacia 1632, Roberval había obtenido un método similar al método de los indivisibles de Cavalieri. Roberval ocupó desde 1632 hasta su muerte una cátedra en el Collège Royal de París y al parecer prefirió no hacer públicos su métodos para conservar dicha cátedra. Por esta razón, se vio envuelto en diversas polémicas relacionadas con la autoría de varios resultados matemáticos. En particular, en 1634, logró calcular el área encerrada por un arco de cicloide usando su método de indivisibles, hallando que, en efecto, el área encerrada por un arco de cicloide era igual al triple del área del círculo que genera la cicloide. La no publicación de estos resultados le involucraría posteriormente en una desagradable disputa con Evangelista Torricelli (1608-1647).

En la misma época, Descartes, Fermat y Roberval habían resuelto el problema de determinar la recta tangente a un arco de cicloide, el método de tangentes de Fermat fue un claro precursor del actual cálculo de tangentes basado en el cálculo diferencial.

En 1638, Mersenne comunicó a Galileo tanto la resolución de la cuadratura (área) de la cicloide como la determinación de la tangente en los puntos de la curva. Debido a su avanzada edad, Galileo deja estos resultados en manos de su discípulo Torricelli, que establecería sus propias demostraciones de estos resultados. En el año 1644, Torricelli publica, como apéndice de su obra “De parabole”, tanto la cuadratura como el cálculo de la tangente de la cicloide.


Blaise Pascal (1623-1662)

En 1637, a la temprana edad de 14 años, el joven Blaise Pascal comienza a asistir con asiduidad a las reuniones organizadas por Mersenne en París. Tras obtener nuevos resultados relacionados con la curva cicloide, Pascal decide plantear un reto, en el que se debían responder cuestiones relacionadas con el centro de gravedad de la región plana encerrada por la cicloide, así como con el volumen y área lateral de los sólidos obtenidos por revolución de dicha curva respecto a un eje. La resolución definitiva de las cuestiones planteadas por Pascal tuvieron que esperar a la aparición de la obra “Histoire de la roulette”, publicada por el propio Pascal a finales de ese año.

Una vez cerrado el plazo de presentación de propuestas al concurso convocado por Pascal, el arquitecto inglés Christopher Wren (1632-1723) comunicaría a Pascal un novedoso resultado sobre la cicloide. Wren había logrado la rectificación de la cicloide, hallando que la longitud de un arco de cicloide era igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia que genera la curva.

En 1658, el astrónomo, físico y matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695) trataba de mejorar el diseño de los relojes de péndulo, cuando inspirado por el reto de Pascal, estudia el periodo de un péndulo forzado a seguir una trayectoria cicloidal, descubriendo que éstos son isócronos. Huygens descubre en base a consideraciones geométricas que la curva cicloide invertida es una curva tautócrona (isocrona). Fue pionero en demostrar que la curva cicloide satisface la propiedad tautócrona y en su obra “Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demostrationes geometricae” (París, 1673) da una demostración geométrica de este hecho.

Leibniz  (1646-1716)

Años más tarde, los métodos infinitesimales de Leibniz  ejercerían una profunda influencia en los matemáticos europeos continentales. En particular, su discípulo suizo Jakob Bernoulli (1654-1705) publicaría en mayo de 1690 un trabajo en la revista Acta Eruditorum donde establece la propiedad tautócrona de la cicloide haciendo uso del cálculo diferencial e integral. Jakob Bernoulli mostró que el problema de la curva tautócrona se reducía a la resolución de una ecuación diferencial de primer orden. Los trabajos de Jakob en 1690 fueron relevantes para la historia del cálculo infinitesimal, la denominación "integral" surge por primera vez con su sentido actual como proceso inverso a la diferenciación.


Escultura  'Braquistócrona'  (Henk Ovink, University of Groningen)

En junio de 1696, Johann Bernoulli, que por entonces se había trasladado a Groningen (Holanda) para ocupar la cátedra de matemáticas de aquella universidad, propone en Acta Eruditorum el problema de la braquistócrona, consistente en "determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no están ni en posición vertical ni horizontal, movido únicamente por efecto de la gravedad". El reto lanzado por Johann, iba dirigido a los más brillantes matemáticos del mundo. El propio Johann había añadido el inquietante dato de que dicha curva era bien conocida entre los matemáticos.

El plazo para la recepción de soluciones fue establecido hasta finales de 1696, aunque Johann aseguraba que "media hora de profunda reflexión sería más que suficiente para una mente capaz". No obstante, finalizado el plazo de seis meses, únicamente Leibniz había logrado resolver el problema en cuestión, Leibniz solicita a Johann Bernoulli la ampliación del plazo de resolución de manera que otros matemáticos, en especial  los matemáticos ingleses pertenecientes a la Royal Society of  London, pudieran conocer y estudiar el problema planteado. En carta fechada el día de año nuevo de 1697, Johann Bernoulli propone la ampliación del plazo de resolución hasta la Semana Santa de 1697.

En total se recibieron cuatro propuestas de solución de Leibniz, el marqués de L´Hôpital, y los dos hermanos Jakob y Johann Bernoulli. Todas las soluciones propuestas, a excepción de la de L'Hôpital, establecían que la curva braquistócrona era una curva cicloide.
 
Johann Bernoulli (1667-1748)

La solución dada por Johann Bernoulli apareció en Acta Eruditorum bajo el nombre “La curvatura de un rayo en un medio no uniforme” y consistía en establecer una analogía entre la curva de descenso más rápido con la trayectoria que seguiría un rayo de luz en un medio plano con índice de refracción adecuadamente elegido. Haciendo uso de la denominada ley de Snell y de la ley de Galileo, por la cual la velocidad de caída de un cuerpo es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia desde donde cae, Johann obtiene la ecuación diferencial de la cicloide.

El hecho de que Huygens identificara años atrás a la cicloide como curva tautócrona hizo a Johann Bernoulli escribir como introducción a su propuesta: “Con justicia admiramos a Huygens porque fue el primero en descubrir que una masa cae por la cicloide en el mismo tiempo, sin importar el punto de  inicio del movimiento. Pero el lector quedará atónito cuando diga que esta misma cicloide, la tautócrona de Huygens, es la braquistócrona que estamos buscando.”

El método de resolución propuesto por Jakob Bernoulli era mucho más general que la solución propuesta por su hermano Johann, y ejerció una profunda influencia en Leonhard Euler, quien, junto a Lagrange, instauraría las bases del Cálculo de Variaciones.


Isaac Newton (1643-1727)

Que Isaac Newton no hubiera respondido al reto en el plazo establecido hizo pensar tanto a Johann Bernoulli como a Leibniz que el problema había desconcertado a Newton, y que, por tanto, el método de fluxiones de Newton era más limitado que el método de diferenciales de Leibniz. La razón en realidad era que Newton se hallaba al margen de la vida académica y científica, porque había sido nombrado Interventor de la Casa de la Moneda de Londres en abril de 1696.

Newton interpretó el nuevo plazo como un reto dirigido hacia su persona, hizo registrar la fecha de la recepción del reto: 29 de enero de 1697. El presidente de la Royal Society  recibiría una carta fechada el 30 de enero de 1697, que contenía una solución al problema de la braquistócrona. En febrero de 1697 en Philosophical Transactions aparecería una brillante y escueta propuesta de autor anónimo, que resolvía el reto de Bernoulli. Cuando el trabajo anónimo llegó a manos de Johann Bernoulli, impresionado por la elegancia de la solución, no tuvo la menor dificultad en identificar a Newton como autor del trabajo.




 El problema de la curva de tiempo más breve (braquistócrona) ya había sido considerado cerca de setenta años antes por Galileo, quien, sin poseer la potente herramienta del cálculo infinitesimal de Leibniz , había propuesto que dicha curva debía ser un arco de circunferencia.


Brachistochrone 
Braquistocrona (círculo) / Galileo Galilei

Lagrange (1736-1813) comenzó alrededor de 1754 a trabajar en el problema de la tautócrona por vías puramente analíticas, y a finales de ese año ya había obtenido importantes resultados que instaurarían las bases actuales del Cálculo de Variaciones (término acuñado por Leonhard Euler). En agosto de 1755, Lagrange comunica por correspondencia a Euler sus avances en la resolución del problema de la tautócrona, así como su método para la resolución de máximos y mínimos condicionados (Método de los multiplicadores de Lagrange).


Niels Henrik Abel (1802-1829)


En 1823, Niels Henrik Abel  propone una generalización del problema de la tautócrona, los trabajos de Abel relativos a la curva tautócrona son pioneros en el desarrollo del Cálculo Fraccionario y el análisis de las Ecuaciones Integrales.


(Extraído de La cicloide: un recorrido histórico por sus propiedades )



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Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral (I)

Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral (II)

Acta Eruditorum:

Leibniz's Papers on Calculus - Differential Calculus 

Leibniz's Papers on Calculus - Integral Calculus

Leibniz's Papers on Calculus - Fundamental Theorem 

Leibniz's Papers on Calculus