La Geometría Analítica y el Cálculo Diferencial e Integral se desarrollan en el siglo XVII. El siglo XVIII será momento de revoluciones. Las revoluciones no se limitan a la esfera política, la Revolución Industrial, por ejemplo, permitió establecer las bases de la Química moderna.
En Francia el año 1789 marca un hito crucial. En el campo de las matemáticas esta época producirá una revolución geométrica y analítica.
Durante el siglo XIV la Universidad de París había sido uno de los centros científicos más importates del mundo, junto con la Universidad de Oxford. Pero esta posición fue quedando irremisiblemente estancada los siglos siguientes. Cuando toda Europa aceptaba la filosofía cartesiana, París se aferraba al escolasticismo aristotélico. Y cuando el mundo científico pone sus ojos en la física newtoniana, París quedaba en retaguardia defendiendo el cartesianismo.
La mayor parte de los matemáticos franceses del siglo XVIII no estaban integrados en las universidades, sino que estaban relacionados con la iglesia o el ejército, o bien disfrutaban de mecenazgo real.
Entre los intelectuales que anunciaron la llegada de la Revolución francesa (1789) estaban Voltaire, Rousseau, D'Alambert y Diderot, ninguno de los cuales vivió lo suficiente como para ver la Toma de la Bastilla.
En lo que a las matemáticas se refiere, Monge, Lagrange, Laplace, Legendre, Carnot y Condorcet se verán metidos en el centro de los desórdenes de la Revolución francesa. Condorcet se suicidaría en prisión en 1794, los demás vivieron para ver el triunfo de la Revolución.
La caída de la Bastilla en 1789 encontró a estos seis matemáticos divididos en dos grupos. Lagrange, Laplace y Legendre no tomaron parte importante en el desarrollo de los sucesos políticos de ese momento. En cambio, Carnot, Condorcet y Monge recibieron con entusiasmo las perspectivas de cambio, y jugaron papeles concretos en las actividades revolucionarias.
Todos ellos trabajaron de manera común en un proyecto matemático durante la Revolución: la reforma del Sistema de Pesos y Medidas.
En 1790 Tayllerand propuso la reforma a un Comité de Pesos y Medidas de la Academia de las Ciencias. Se propusieron sistemas decimales y duodecimales, Lagrange apostó firmemente por los decimalistas. El Comité se mostró impresionado por la exactitud con que Legendre había medido la longitud del meridiano terrestre, lo que finalmente definió al metro: la diezmillonésima parte de la longitud del cuadrante del meridiano terrestre. El sistema métrico estaba casi perfilado en 1791, pero hubo retrasos en su puesta en vigor.
Tras turbulentos cambios que hicieron suprimir en 1793 la Academia de las Ciencias, se crea el Institut National. Lagrange, Laplace, Legendre y Monge formarán parte del nuevo Comité. En 1799 los trabajos se terminaron al fin. Carnot estuvo desconectado de este proyecto.
La caída de la Bastilla en 1789 encontró a estos seis matemáticos divididos en dos grupos. Lagrange, Laplace y Legendre no tomaron parte importante en el desarrollo de los sucesos políticos de ese momento. En cambio, Carnot, Condorcet y Monge recibieron con entusiasmo las perspectivas de cambio, y jugaron papeles concretos en las actividades revolucionarias.
Todos ellos trabajaron de manera común en un proyecto matemático durante la Revolución: la reforma del Sistema de Pesos y Medidas.
En 1790 Tayllerand propuso la reforma a un Comité de Pesos y Medidas de la Academia de las Ciencias. Se propusieron sistemas decimales y duodecimales, Lagrange apostó firmemente por los decimalistas. El Comité se mostró impresionado por la exactitud con que Legendre había medido la longitud del meridiano terrestre, lo que finalmente definió al metro: la diezmillonésima parte de la longitud del cuadrante del meridiano terrestre. El sistema métrico estaba casi perfilado en 1791, pero hubo retrasos en su puesta en vigor.
Tras turbulentos cambios que hicieron suprimir en 1793 la Academia de las Ciencias, se crea el Institut National. Lagrange, Laplace, Legendre y Monge formarán parte del nuevo Comité. En 1799 los trabajos se terminaron al fin. Carnot estuvo desconectado de este proyecto.
Joseph-Louis Lagrange fue el único del grupo que no era francés en sentido estricto, había nacido en Turín. Realizó sus primeros estudios en Turín y fue profesor de matemáticas en la Academia Militar de Turín. Más tarde disfrutaría del mecenazgo de Federico el Grande de Prusia y de Luis XVI de Francia.
Lagrange publica Mécanique Analytique en 1788.
En plena época del Terror (1793-94), Lagrange consideró seriamente la posibilidad de abandonar Francia, pero justamente se crean le École Normale y la École Polytechnique, y Lagrange es invitado a dar lecciones de Análisis.
Lagrange había estado bajo el patrocinio de reyes, pero durante la Revolución no tomó partido ni a favor ni en contra del rey o del Segundo Estado.
En 1797 publica Théorie des fonctions analytiques, que desarrollaba algunas ideas que ya había presentado en un artículo 25 años atrás. Aparece en el texto el concepto de la derivada de Lagrange, que daría lugar al actual nombre de derivada de una función.
Puede decirse que la obra de Lagrange durante la Revolución tuvo una gran influencia en el desarrollo posterior de la matemática, porque supuso los inicios de un campo nuevo que desde entonces es el verdadero centro de la matemática: la teoría de funciones de una variable real.
La fama de Lagrange se extendió desde sus primeras publicaciones, y en 1766 Euler y D'Alambert se lo aconsejaron a Federico II el Grande para suceder al propio Euler, cargo que Lagrange aceptó, permaneciendo en Berlín veinte años. En 1767 publicó una memoria sobre la aproximación de raíces de ecuaciones polinómicas por medio de fraciones continuas. En un artículo en 1770 estudió la resolubilidad de ecuaciones en términos de las permutaciones de sus raíces. Esto conduciría más tarde a la importante teoría de grupos y a las demostraciones, de Abel y Galois, de la irresolubilidad en términos usuales de las ecuaciones algebraicas de grado mayor que cuatro. Lagrange conjeturó que las ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro no serían resolubles por radicales, en el sentido usual.
Nicolas Condorcet se formó en las escuelas de los jesuitas y más tarde en el College de Navarre. Publica De Calcul Intégral en 1765 y Essai sur l'application de l'analyse á la probabilité des décisions rendues á la pluralité des voix en 1785. Fue uno de los matemáticos que más hizo por la revolución, e irónicamente perdió su vida en ella.
Condorcet era un fisiócrata, filósofo y enciclopedista, que perteneció al círculo de D'Alembert y Voltaire. Publicó libros sobre teoría de probabilidades y cálculo integral, pero también fue un inquieto idealista y visionario que se interesaba por todo lo que tuviera que ver con el bienestar de la humanidad.
Condorcet sentía una profunda aversión por la injusticia y, a pesar de tener el título de marqués, se dedicó a trabajar en favor de la reforma del Antiguo Régimen. Creyendo que la educación conseguiría transformar una sociedad viciosa, defendió la educación pública y libre.
El sistema educativo anterior se había derrumbado bajo la presión de la Revolución, y Condorcet vio que ese era el momento de intentar introducir las reformas que tenía en mente. Presentó sus planes a la Asamblea Legislativa, pero el agitado ambiente en torno a otros temas hizo imposible que fuesen considerados. Condorcet plantea en 1792 el plan para una educación pública y libre, que no sería tenido en cuenta hasta muchos años después de su muerte.
Condorcet había puesto sus máximas esperanzas en la Revolución, en particular en el ala girondina moderada de la Revolución, hasta que los extremistas se hicieron con el control del poder, momento en el que denuncia a los septembristas y es ordenado su arresto. Se ocultó durante meses mientras escribía su última obra Bosquejo de un cuadro histórico del progreso de la mente humana. Una vez acabada la obra en 1794, abandona su refugio. Inmediatamente es reconocido como parte de la aristocracia y fue arrestado. A la mañana siguiente se le encontró muerto en su celda, presumiblemente por suicidio.
Hoy se recuerda a Condorcet como un pionero de la matemática social, por la aplicación de las probabilidades y la estadística a los problemas sociales.
Condorcet era un fisiócrata, filósofo y enciclopedista, que perteneció al círculo de D'Alembert y Voltaire. Publicó libros sobre teoría de probabilidades y cálculo integral, pero también fue un inquieto idealista y visionario que se interesaba por todo lo que tuviera que ver con el bienestar de la humanidad.
Condorcet sentía una profunda aversión por la injusticia y, a pesar de tener el título de marqués, se dedicó a trabajar en favor de la reforma del Antiguo Régimen. Creyendo que la educación conseguiría transformar una sociedad viciosa, defendió la educación pública y libre.
El sistema educativo anterior se había derrumbado bajo la presión de la Revolución, y Condorcet vio que ese era el momento de intentar introducir las reformas que tenía en mente. Presentó sus planes a la Asamblea Legislativa, pero el agitado ambiente en torno a otros temas hizo imposible que fuesen considerados. Condorcet plantea en 1792 el plan para una educación pública y libre, que no sería tenido en cuenta hasta muchos años después de su muerte.
Condorcet había puesto sus máximas esperanzas en la Revolución, en particular en el ala girondina moderada de la Revolución, hasta que los extremistas se hicieron con el control del poder, momento en el que denuncia a los septembristas y es ordenado su arresto. Se ocultó durante meses mientras escribía su última obra Bosquejo de un cuadro histórico del progreso de la mente humana. Una vez acabada la obra en 1794, abandona su refugio. Inmediatamente es reconocido como parte de la aristocracia y fue arrestado. A la mañana siguiente se le encontró muerto en su celda, presumiblemente por suicidio.
Hoy se recuerda a Condorcet como un pionero de la matemática social, por la aplicación de las probabilidades y la estadística a los problemas sociales.
Monge contribuyó con numerosos artículos matemáticos a la Mémoire de la Académies des Sciences, y al suceder a Bézout como examinador de la Escuela de la Marina, las autoridades le insistieron en que debía de escribir un texto que sirviera como guía para el estudio a los candidatos a ingresar en dicha escuela. Sin embargo, Monge estaba más interesado en la enseñanza y la investigación que en escribir libros. Solo llegó a completar un volumen del proyecto, Traité élémentaire de Statique (1788)
A Monge no solo le atraían las matemáticas puras y aplicadas, sino también la física y la química; participó en experimentos junto a Lavoisier que condujeron a lo que se denominó la revolución química de 1789. De hecho su fama como químico y físico era probablemente mayor que la de matemático, ya que su nueva geometría no había sido apreciada debidamente.
La obra más importante de Monge, Géométrie descriptive, no se había publicado porque sus superiores consideraron que era necesario mantenerla reservada confidencialmente en interés de la defensa nacional.
Monge por su origen plebeyo formó parte del Club Jacobino, ala radical de la Revolución. Tras su etapa de examinador en Méziéres, retorna a París en 1792 y es nombrado ministro de la Marina. Y fue precisamente en su condición de ministro que le correspondió la tarea de firmar el documento oficial relativo al juicio y ejecución del rey. La flota francesa era tan ineficaz que Monge dimite viéndose incapaz de solucionarlo. Pero siguió activo en la política. A instancias del Comité de Salud Pública publicó Description de l'art de fabriquer les canons.
A lo largo de toda la Revolución, Monge estuvo en situación de riesgo, demasiado liberal para los conservadores y demasiado conservador para los extremistas.
En 1794 Monge forma parte de la Comisión de Obras Públicas, encargada de crear la institución adecuada para la preparación de ingenieros: École polytechnique. Monge venció su resistencia a escribir libros de texto debido a que la reforma de los programas de matemáticas hizo necesario el uso de textos adecuados. Monge además impartía un denso curso, donde una de las materias era conocida como "Estereotomía", y después fue conocida como "Geometría Descriptiva". El programa ha llegado en forma manuscrita a nuestros días: estudio de sombras, perspectiva y topografía, propiedades de las superficies, planos tangentes, teoría de máquinas,...
Puede decirse que mientras el siglo XVII fue el siglo de las curvas, la cicloide, la catenaria, la lemniscata, las hipérbolas, parábolas, espirales de Femat, perlas de Sluse,...el siglo XVIII fue el siglo en el que comenzó realmente el estudio sistemático de las superficies.
Monge era un verdadero especialista en geometría, casi podríamos decir que el primero desde Apolonio (siglo III a.C.), así como un excelente profesor. El desarrollo de la geometría del espacio se debió en buena parte a la actividad matemática y revolucionaria de Monge. De no ser por su actividad política podría no haberse creado nunca la École Polytechnique, y de no haber sido un maestro con gran capacidad para transmitir su entusiasmo, el renacimiento de la geometría tridimensional podría no haberse producido.
Monge también fue profesor en una nueva escuela, École Normale, las lecciones impartidas en 1794-95 fueron publicadas en su libro Géométrie descriptive. La idea básica que hay tras la nueva geometría descriptiva o método de doble proyección ortogonal produjo una revolución en la teoría de proyectos de la ingeniería militar de la época de Monge.
En 1802 Monge y Hachette publican Application de l'algébre á la géométrie, que se podría haber usado perfectamente como libro de texto a lo largo del siglo XX.
La mayor parte de los resultados de Monge sobre la geometría analítica de rectas y planos aparecían ya en las memorias del año 1771. En las Feuilles d'analyse y en la memoria compartida con Hachette, aparece la mayor parte de la geometría analítica del espacio y de la geometría diferencial elemental que hoy contienen los libros de texto de las universidades. No aparece aún el uso explícito del determinante, tarea que corresponde al siglo XIX; no obstante la utilización de notaciones simétricas por parte de Monge son una anticipación de los determinantes, pero sin la distribución en filas y columnas, tan usual hoy, y que es debida a Cayley.
- El punto de Monge del tetraedro: " El punto de Monge M, es la intersección de los planos que pasan por el punto medio de cada arista y son perpendiculares a la arista opuesta.".
- La esfera de Monge: "El lugar geométrico de los vértices de los triedros trirrectángulos cuyas caras son tangentes a una superfiie cuadrática dada, es una esfera".
Los discípulos de Monge pusieron en circulación un verdadero torrente de libros de texto elementales de geometría analítica que no tenía precedentes. Con la aparición casi repentina de tantas geometrías a partir de 1798 se produjo una auténtica revolución en la enseñanza. La geometría analítica que había permanecido eclipsada por el cálculo durante más de un siglo, consiguió de pronto que se le reconociera un lugar en las escuelas; la paternidad de esta "revolución analítica" hay que atribuirla a Monge.
Monge fue sin duda, una de las figuras más relevantes de la Revolución; sin embargo, el matemático que estaba en boca de todos los franceses era Lazare Carnot.
Lazare Carnot, el más joven de todos, pertenecía a la burguesía lo que le permitió asistir a la École Militaire de Méziéres, en la que uno de sus profesores fue Monge. Después de graduarse ingresó en el ejército.
Carnot publicó en 1786 la segunda edición de su obra Essai sur les machines en géneral, y otra obra sobre fortificaciones militares.
Cuando Carnot vio amenazado el éxito de la Revolución, tanto por la confusión interna en Francia como por las amenazas de invasión del exterior, organizó los ejércitos y los condujo a la victoria. Carnot era un republicano tan ardiente como Monge, pero evitó pertenecer a ninguna de las muchas camarillas políticas de la convulsa época, con un alto sentido de la reponsabilidad trató de ser siempre imparcial. Se opuso a Robespierre, quien había asegurado que Carnot perdería la cabeza en el primer desastre militar que tuviera. Si Carnot hubiera sido matemático y político, como Monge y Condorcet, muy bien podría haber acabado en la guillotina, pero Carnot se ganó la admiración de sus compatriotas por sus éxitos militares. Cuando la Convención Nacional propuso su arresto, los diputados le aclamaron y defendieron, y fue la cabeza de Robespierre la que cayó en lugar de la suya. Y Carnot sobrevivió para tomar parte en la consolidación de la École Polytechnique. Su hijo Hippolyte llegó a ser ministro de Instrucción Pública en 1848. Su nieto Sadi Carnot fue el cuarto presidente de la Tercera República Francesa.
Carnot llevó una fascinante vida política hasta 1797. Había pasado por la Asamblea Nacional, por la Asamblea Legislativa, la Convención Nacional, por el poderoso Comité de Salud Pública, el Consejo de los Quinientos y el Directorio. Sin embargo en 1797 rehusó apoyar un golpe de estado civil y eso supuso su deportación.
Carnot publicó en 1786 la segunda edición de su obra Essai sur les machines en géneral, y otra obra sobre fortificaciones militares.
Cuando Carnot vio amenazado el éxito de la Revolución, tanto por la confusión interna en Francia como por las amenazas de invasión del exterior, organizó los ejércitos y los condujo a la victoria. Carnot era un republicano tan ardiente como Monge, pero evitó pertenecer a ninguna de las muchas camarillas políticas de la convulsa época, con un alto sentido de la reponsabilidad trató de ser siempre imparcial. Se opuso a Robespierre, quien había asegurado que Carnot perdería la cabeza en el primer desastre militar que tuviera. Si Carnot hubiera sido matemático y político, como Monge y Condorcet, muy bien podría haber acabado en la guillotina, pero Carnot se ganó la admiración de sus compatriotas por sus éxitos militares. Cuando la Convención Nacional propuso su arresto, los diputados le aclamaron y defendieron, y fue la cabeza de Robespierre la que cayó en lugar de la suya. Y Carnot sobrevivió para tomar parte en la consolidación de la École Polytechnique. Su hijo Hippolyte llegó a ser ministro de Instrucción Pública en 1848. Su nieto Sadi Carnot fue el cuarto presidente de la Tercera República Francesa.
Carnot llevó una fascinante vida política hasta 1797. Había pasado por la Asamblea Nacional, por la Asamblea Legislativa, la Convención Nacional, por el poderoso Comité de Salud Pública, el Consejo de los Quinientos y el Directorio. Sin embargo en 1797 rehusó apoyar un golpe de estado civil y eso supuso su deportación.
El Teorema de Napoleón se ha atribuido erróneamente al general. El autor fue Lorenzo Mascheroni, quien sabiendo de la pasión del general francés por la geometría, le dedicó su libro Geometría del Compasso 1797. La confusión hizo que de forma injusta se atribuyera a Napoleón el nombre del teorema y su demostración.
El nombre de Carnot y su cargo en la sección de Geometría del Institut National fue suprimido y se le adjudicó al general Bonaparte, incluso Monge se unió al ultraje intelectual de Carnot. En defensa de Monge se dice que estaba absolutamente hipnotizado por Napoleón Bonaparte. Monge siguió a su ídolo Napoleón en lo bueno y en lo malo, era tal su devoción que caía literalmente enfermo cada vez que Napoleón perdía una batalla. Esta actitud contrasta con la de Carnot, que en principio fue el responsable de la ascensión de Bonaparte al poder, por su nombramiento para llevar la campaña italiana, pero más tarde no dudó en oponerse al frankestein que había creado, lo que estuvo a punto de costarle la vida.
Los meses de destierro de Carnot le dieron la oportunidad de completar la obra que tenía en mente: Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitesimal, que publicaría en 1797. Esta obra está más cercana a la filosofía que a la matemática o la física. Anunciaba la llegada del rigor y el interés por los fundamentos de la matemática, uno de los temas centrales del siglo XIX.
Las Réflexions de Carnot gozaron de una gran popularidad, pero su fama le vino a través de su obra De la corrélation des figures de la géométrie (1801), con ella intentó establecer para la geometría pura un nivel de generalidad comparable al que gozaba entonces la geometría analítica.
Carnot publica en 1803 Géométrie de position, obra que lo sitúa al nivel de Monge, como uno de los fundadores de la geometría pura moderna. Su tendencia a las generalizaciones le condujo a bellos resultados tridimensionales análogos a otros teoremas conocidos de la geometría plana.
Carnot extiende el resultado del teorema del coseno sobre un triángulo cualquiera \( a^{2}= b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos(A) \), a una forma generalizada sobre un tetraedro:
\[ a^{2}= b^{2}+c^{2}+d^{2}-2cd \cdot cos(B)-2bd\cdot cos(C)-2bc\cdot cos(D) \]
donde a, b, c y d son las áreas de las cuatro caras y B, C, D son los ángulos diedros que forman los pares de caras de áreas c y d, b y d, b y c.
Para los matemáticos el nombre de Carnot está asociado a un teorema de geometría que apareció en 1806 en su obra Essai sur le théorie des transversales, se trataba de una generalización del conocido Teorema de Menelao, el Teorema de Carnot.
TEOREMA DE CARNOT "Sea una curva geométrica cualquiera que intercepta el triángulo ABC. Si (A'B') es el producto de los segmentos interceptados sobre AB, entre A y las diferentes ramas de la curva. (B'A') será el producto de los segmentos interceptados sobre BA, entre B y las diferentes ramas de la curva. Análogamente (A'C') (C'A') sobre AC y (B'C') (C'B') sobre BC. Entonces:
(A'B') · (B'C') · (C'A') = (B'A') · (C'B') · (A'C')
Pierre Simon Laplace nació en una familia modesta pero encontró amigos influyentes que le proporcionaron el acceso a una educación esmerada en una academia militar.
Laplace no tomó parte prácticamente en actividades revolucionarias; en política carecía de convicciones concretas. Pese a ello parece haberse relacionado libremente con colegas científicos que eran sospechosos durante el período de la crisis francesa.
Jugó un papel menor en el Comité de Pesos y Medidas, y fue también profesor en la École Normale y la École Polytechnique, pero no publicó sus lecciones, como lo habían hecho Monge y Lagrange. Sus publicaciones estuvieron dedicadas principalmente a la mecánica celeste, campo en el que destacó sin rivales a su altura, desde la época de Newton.
Estudió las condiciones de equilibrio de una masa fluida en rotación, problema que conectaba con la hipótesis de los orígenes del sistema solar a partir de una nebulosa inicial. Laplace formuló esta hipótesis en 1796, Exposition du systéme du monde.
En Mécanique Céleste (1799-1825, 5 volúmenes) Laplace expone que el sistema solar evolucionó a partir de una masa de gas incandescente girando alrededor de su eje. Al irse enfriando, el gas se contrajo, lo que originó que el movimiento de rotación se fuese acelerando, en virtud del principio de conservación del momento angular, lo que provocó que se desprendieran sucesivos anillos del borde exterior, que se fueron condensando y formaron los planetas, mientras que el Sol en rotación constituyó el núcleo central que quedó en la nebulosa. La idea básica de esta hipótesis no era completamente original de Laplace, había sido expuesta por Thomas Wright e Immanuel Kant, pero sería Laplace quien la dotaría de la formulación matemática.
La Mécanique Céleste fue la culminación de la teoría newtoniana de la gravitación expuesta en los Principia de Newton. Newton había calculado la velocidad del sonido en el aire mediante consideraciones puramente teóricas, para deducir al final que el valor calculado era demasiado pequeño. Laplace fue el primero en señalar que la discrepancia entre las velocidades calculadas frente a las medidas por observación, era debida al hecho de que los cálculos en los Principia de Newton se basaban en la suposición de que las compresiones y expansiones del aire al transmitir el sonido eran isotermas, cuando en realidad las oscilaciones del sonido son tan rápidas que las compresiones y expansiones son adiabáticas, lo que incrementa el coeficiente de elasticidad del aire y, en consecuencia, la velocidad del sonido.
Napoleón que sentía una gran admiración por los hombres de ciencia, lo nombró ministro del Interior, un puesto que ya había ocupado Carnot. Laplace no mostró demasiadas aptitudes para el cargo.
La obra de Laplace no tuvo una influencia inmediata y duradera, sus resultados representan el final de una época más que el comienzo de un período nuevo. Hay que hacer una salvedad, su teoría de las probabilidades.
La teoría de probabilidades debe más a Laplace que a nigún otro matemático. Desde 1774 escribió muchos resultados que organizó e incorporó en su libro Théoríe Analytique des Probabilités, 1812.
En esta obra demuestra su dominio del cálculo superior. Incluía las funciones beta y gamma. Laplace fue uno de los primeros que demostró que:
\[ \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx \]
es decir, el área bajo la curva de probabilidades \( e^{-x^{2}} \) es igual a \( \sqrt{\pi} \)
También dedica su atención al cálculo de \( {\pi} \) por medio del problema de la aguja de Buffon, que había permanecido en el olvido durante 35 años. Por ello a veces a este problema se le nombra como la aguja de Buffon-Laplace, debido a que Laplace extendió el problema original a una cuadrícula de dos haces de rectas paralelas equidistantes y perpendiculares el uno al otro. Si las distancias entre las rectas de cada haz son a y b, entonces la probabilidad de que una aguja de longitud \( L \) (menor que a y b) lanzada al azar corte a una de las rectas de la cuadrícula, es:
\[ p=\frac{2L(a+b))-L^{2}}{\pi ab } \]
La Théoríe Analytique des Probabilités contiene también la transformada de Laplace, de enorme utilidad para la teoría de Ecuaciones Diferenciales.
La función \( f(x) \) es la transformada de Laplace de la función \( g(x) \) si verifica:
\[ f\left ( x \right )= \int_{0}^{\infty }e^{-xt} g\left ( x \right )dt \]
Laplace consideró la teoría de la probabilidad desde todos los puntos de vista, y su Essai Philosophique des Probabilités de 1814 es una exposición de la probabilidad para lectores no especializados. En ella, Laplace afirmaba "en el fondo, la teoría de probabilidades es solo el sentido común expresado en números"
Laplace no tomó parte prácticamente en actividades revolucionarias; en política carecía de convicciones concretas. Pese a ello parece haberse relacionado libremente con colegas científicos que eran sospechosos durante el período de la crisis francesa.
Jugó un papel menor en el Comité de Pesos y Medidas, y fue también profesor en la École Normale y la École Polytechnique, pero no publicó sus lecciones, como lo habían hecho Monge y Lagrange. Sus publicaciones estuvieron dedicadas principalmente a la mecánica celeste, campo en el que destacó sin rivales a su altura, desde la época de Newton.
Estudió las condiciones de equilibrio de una masa fluida en rotación, problema que conectaba con la hipótesis de los orígenes del sistema solar a partir de una nebulosa inicial. Laplace formuló esta hipótesis en 1796, Exposition du systéme du monde.
En Mécanique Céleste (1799-1825, 5 volúmenes) Laplace expone que el sistema solar evolucionó a partir de una masa de gas incandescente girando alrededor de su eje. Al irse enfriando, el gas se contrajo, lo que originó que el movimiento de rotación se fuese acelerando, en virtud del principio de conservación del momento angular, lo que provocó que se desprendieran sucesivos anillos del borde exterior, que se fueron condensando y formaron los planetas, mientras que el Sol en rotación constituyó el núcleo central que quedó en la nebulosa. La idea básica de esta hipótesis no era completamente original de Laplace, había sido expuesta por Thomas Wright e Immanuel Kant, pero sería Laplace quien la dotaría de la formulación matemática.
La Mécanique Céleste fue la culminación de la teoría newtoniana de la gravitación expuesta en los Principia de Newton. Newton había calculado la velocidad del sonido en el aire mediante consideraciones puramente teóricas, para deducir al final que el valor calculado era demasiado pequeño. Laplace fue el primero en señalar que la discrepancia entre las velocidades calculadas frente a las medidas por observación, era debida al hecho de que los cálculos en los Principia de Newton se basaban en la suposición de que las compresiones y expansiones del aire al transmitir el sonido eran isotermas, cuando en realidad las oscilaciones del sonido son tan rápidas que las compresiones y expansiones son adiabáticas, lo que incrementa el coeficiente de elasticidad del aire y, en consecuencia, la velocidad del sonido.
Napoleón que sentía una gran admiración por los hombres de ciencia, lo nombró ministro del Interior, un puesto que ya había ocupado Carnot. Laplace no mostró demasiadas aptitudes para el cargo.
La obra de Laplace no tuvo una influencia inmediata y duradera, sus resultados representan el final de una época más que el comienzo de un período nuevo. Hay que hacer una salvedad, su teoría de las probabilidades.
La teoría de probabilidades debe más a Laplace que a nigún otro matemático. Desde 1774 escribió muchos resultados que organizó e incorporó en su libro Théoríe Analytique des Probabilités, 1812.
En esta obra demuestra su dominio del cálculo superior. Incluía las funciones beta y gamma. Laplace fue uno de los primeros que demostró que:
\[ \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx \]
es decir, el área bajo la curva de probabilidades \( e^{-x^{2}} \) es igual a \( \sqrt{\pi} \)
También dedica su atención al cálculo de \( {\pi} \) por medio del problema de la aguja de Buffon, que había permanecido en el olvido durante 35 años. Por ello a veces a este problema se le nombra como la aguja de Buffon-Laplace, debido a que Laplace extendió el problema original a una cuadrícula de dos haces de rectas paralelas equidistantes y perpendiculares el uno al otro. Si las distancias entre las rectas de cada haz son a y b, entonces la probabilidad de que una aguja de longitud \( L \) (menor que a y b) lanzada al azar corte a una de las rectas de la cuadrícula, es:
\[ p=\frac{2L(a+b))-L^{2}}{\pi ab } \]
La Théoríe Analytique des Probabilités contiene también la transformada de Laplace, de enorme utilidad para la teoría de Ecuaciones Diferenciales.
La función \( f(x) \) es la transformada de Laplace de la función \( g(x) \) si verifica:
\[ f\left ( x \right )= \int_{0}^{\infty }e^{-xt} g\left ( x \right )dt \]
Laplace consideró la teoría de la probabilidad desde todos los puntos de vista, y su Essai Philosophique des Probabilités de 1814 es una exposición de la probabilidad para lectores no especializados. En ella, Laplace afirmaba "en el fondo, la teoría de probabilidades es solo el sentido común expresado en números"
Adrien Marie Legendre no tuvo dificultades en cuanto a su educación, durante 5 años enseñó en la École Militaire de Paris.
En 1794, el año del Terror, publicó Éléments de Géométrie, un libro de texto que alcanzó un gran éxito, uno de los productos matemáticos de la Revolución que tuvo una influencia más profunda, se llegaron a vender hasta 20 ediciones de esta obra en vida del autor. Los Elementos de Geometría de Legendre se publicaron en América para uso en las escuelas, de manera que Legendre y geometría parecían sinónimos. Sin embargo Legendre no era un geómetra, destacó en numerosos campos de las matemáticas: cálculo, teoría de ecuaciones diferenciales, teoría de funciones, teoría de números, ...
Publicó Traité des fontcions elliptiques et des intégrales euleriénnes (1825-1832) e introdujo el nombre de integrales eulerianas para designar a las funciones beta y gamma.
Legendre fue una figura importante en geodesia, y en ese contexto desarrolló el método estadístico de los mínimos cuadrados.
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En el año 1799 Napoleón se hizo con el control del poder en Francia, y se da por finalizado el período de la Revolución. Con Napoleón las condiciones para el desarrollo de la matemática siguieron siendo favorables.Monge, Carnot y Lagrange fueron nombrados condes del imperio, y Laplace consiguió el título de marqués, el único que nunca tuvo un título de nobleza fue Legendre.
Desde el punto de vista matemático la historia tuvo un final feliz, porque pudieron continuar su obra hasta el final. Desde el punto de vista político Carnot y Monge salieron derrotados, tenían, los dos, sólidas convicciones políticas y ambos habían votado a favor de la ejecución de Luis XVI. Carnot se opuso a los dictadores, y en 1804 fue el único tribuno con valor suficiente como para votar en contra del nombramiento de Napoleón como emperador. Pese a ello, cuando consideró que la prosperidad de Francia lo exigía, Carnot sirvió a Napoleón de buen grado. Por su parte Monge apoyó a su ídolo desde que Napoleón era un simple cabo revolucionario hasta que se convirtió en el emperador déspota. Acompañó a Bonaparte en las campañas de Italia y Egipto, y fue el propio Monge el encargado de la delicada tarea de seleccionar qué obras de arte se transportarían a París como botín de guerra.
Tras la restauración de la monarquía francesa (1814), Carnot se vio obligado a exiliarse en Magdeburg, y Monge fue desterrado y despojado de todos los honores, incluidos sus cargos en la École Polytechnique y el Instituto Nacional. Este giro de los acontecimientos fue aceptado por Carnot, en cambio Monge se quebró y moriría poco después.
Lagrange había muerto en 1813, un año antes de la crisis napoleónica.
Legendre parece haber permanecido políticamente neutral a lo largo de todos estos cambios, gracias a su carácter tímido y reservado. Hacia el final de su vida también sufrió las consecuencias de las represalias políticas.
Laplace, por su parte, hacía las paces con cada régimen político según iban llegando, incluía en las edicciones de sus obras las más encendidas alabanzas de cualquier bando que ocupase circunstancialmente el poder. Laplace fue admirado por su contribución a las matemáticas, pero despreciado por su oportunismo político.
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Tomado de Historia de la matemática (Carl B. Boyer)
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La Historia que vivieron los Matemáticos
Matemáticos durante la Revolución francesa (1789-1799)
Las Matemáticas en la Revolución francesa (Universo Matemático, vídeos)
