18.9.18

La Música y las Matemáticas



Fueron los filósofos de la Escuela pitagórica (siglos VI- V a.C.) los que pusieron las bases de nuestra música actual. Los  fundamentos  matemáticos  de  la  música,  estudiados  y  enunciados  por  los pitagóricos constituyeron la base de todos los manuales de música que se elaboraron posteriormente. Entre estos manuales, uno de los más importantes es De  institutione  música escrito por Boecio en el siglo VI d.C. Boecio desarrolló y extendió los  principios enunciados  por  los pensadores pitagóricos. Este texto fue la base de toda la teoría musical elaborada durante el Medioevo en el Occidente cristiano. Boecio consideraba que la música era una de las ciencias que permitía al hombre alcanzar la sabiduría. Por ese motivo denominó quadrivium o cuádruple  vía  hacia  la  sabiduría, al  conjunto  de  las  cuatro  ciencias matemáticas: música, aritmética, geometría y astronomía.

El principio que relaciona la longitud de una cuerda vibrante con las notas de la escala musical era bien conocido en Mesopotamia y Grecia. Los pensadores de la Escuela Pitagórica habrían empleado un monocordio, una cuerda tensada sobre la cual se desliza un puente móvil,  para realizar sus experiencias. Al pulsar una cuerda tensada se obtiene un sonido, el sonido obtenido dependerá de la longitud de la cuerda.

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Escuela pitagórica y la Música  (Donald en el País de las Matemáticas)
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Imaginemos una cuerda de 1 unidad de longitud, tensada por sus extremos. Al vibrar libremente se obtenía un sonido que, por comodidad, nombraremos: Do, como lo hacemos en la actualidad. Si realizaban el experimento con una cuerda el doble de larga, 2 unidades de longitud, los pitagóricos observaron que era, DO, la misma nota musical, pero más alta. Tras realizar múltiples experimentos, y obtener lo que entendieron como las 7+1 notas musicales que representaban sonidos que resultaban más "agradables" al oído humano, dispusieron de la escala musical (usaremos por comodidad los nombres actuales): Do Re Mi Fa Sol La Si DO. 

Las ocho notas musicales de la escala conforman la "octava", y por tanto DO sería "una octava más alta que Do". Además corroboraron, que dicha escala corresponde a la proporción matemática 1/2 (Do/DO).

Los pitagóricos comenzaron definiendo una escala de cuatro notas, intercalando dos notas entre Do-DO.

Fuente información y grafismos Pitágoras, las matemáticas y la música (Enrique Alexandre)
- Sol sería 3/2 de Do (quinta o diapente).

- Fa sería 4/3 de DO (cuarta o diatesarón).

Aún faltaban cuatro notas musicales. Pensaron que como Sol era la "quinta de Do", podían seguir este procedimiento y calcular la "quinta de Sol", multiplicando por 3/2, obteniendo así 9/4, que por exceder de 2 (DO), la redujeron a la misma nota musical pero en la octava inferior simplemente multiplicando por 1/2 (recordemos que Do/DO = 1/2).

Así nace la nota musical  Re que sería 9/8 de Do. Además, este valor representa la cuantificación de un tono dentro de la escala.

Animados, calcularon la "quinta de Re". Así que, de manera análoga, obtienen multiplicando por 3/2, la fracción 27/16 que representa a La.



Siguiendo con el cálculo de la quinta de la nota anterior, 3/2 de 27/16, obtenemos 81/32, que excede de 2, así que para reducirla a la misma nota de la octava inferior multiplicaron por 1/2, obteniendo 81/64 que representa a Mi.


Volvemos a aplicar el mismo método a Mi. Obtenemos 3/2 de 81/64 = 243/128, fracción que representa a Si.

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Las ocho notas de la octava se encuentran separadas entre sí por intervalos de tono o de semitono. El valor del intervalo de tono es 9/8 =  Re/Do. Sin embargo, y a pesar de su nombre, el intervalo de semitono no equivale, desde el punto de vista matemático, a la mitad de un intervalo de tono, puesto que un semitono está definido por la fracción 256/243 = Fa/Mi = (4/3) : (81/64)
           
Los filósofos de la Antigua Grecia conocían muy bien los intervalos musicales más pequeños  que  el  tono.  Según  relata  Boecio,  Filolao habría  definido matemáticamente varios de estos intervalos. Del mismo modo, en el Timeo de Platón (siglo  IV  a.C.)  se  encuentran  enumerados,  además  de  los  intervalos  de  cuarta  y  de quinta, los que corresponden al tono y semitono.

La  octava está  compuesta  por   cinco  tonos  y  dos  semitonos,  distribuidos  de  la siguiente manera:

donde Do-Re representa un tono y Mi-Fa representa un semitono.

La distribución de tonos y semitonos es  simétrica respecto de la nota Re. Es decir que la distribución de tonos y de semitonos es similar tanto si se asciende como si se desciende en la escala musical, tomando como punto de partida a la nota Re:


Por este motivo, durante la Edad Media, los clérigos componían sus piezas religiosas partiendo de esta nota, Re.

Hasta aquí llegaron los pitagóricos, quienes también comprobaron que su teoría cumplía propiedades maravillosas que reafirmaron que estaban creando las notas perfectas. 

Arquitas de Tarento (siglo V a.C.) expresaba que “...en la música existen tres medias: la primera es la media aritmética; la segunda es la geométrica; la tercera es la media armónica...”




Si los pitagóricos hubieran continuado calculando "quintas" habrían obtenido la escala con 12 notas musicales dentro de la "octava".
Do# Re# Fa# Sol# La# (# Sostenido)  


Ello  significa  que  si  partimos  de una nota musical (tono),  después  de  12  quintas  tendremos  un  tono aproximadamente igual al de partida, 7 octavas más agudo. La controversia surge cuando se observa que las doce "quintas" suman un poco más que las 7 octavas.
En efecto \(   (3/2)^{12}= 129,746     \) mientras que \( (2/1)^{7}= 128    \).
Sin  embargo,  la diferencia es suficiente como para resultar notoriamente desafinado, ya que  129,746 : 128 = 1,0136, lo que representa una diferencia de 1,36 % en la frecuencia, que será perceptible ya que está por encima del umbral de discriminación de frecuencias (0,3 %).

Hoy se denomina a esa pequeña diferencia entre ambas escalas "comma pitagórica".


(cada vuelta de la espiral representa una octava)
 Fuente grafismo "Octava- Círculo de quintas"
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A partir de esto si seguimos calculando quintas observaríamos que las notas obtenidas serían "casi" las mismas que ya teníamos, y por ello habríamos cerrado el círculo.



Este  sistema,  que  tardó  mucho  tiempo  en  imponerse,  lo  consagró  en el siglo XVIII Juan Sebastián Bach (1685- 1750) en su obra  El clave bien temperado.

Desde entonces la escala habitual empleada en Occidente es la  escala temperada. En esta escala existen once frecuencias intermedias entre una nota y su octava superior. Las  doce frecuencias de la escala temperada se denotan: [ Do  Do#   Re  Re#   Mi  Fa   Fa#   Sol  Sol#  La  La#  Si ], donde el signo # indica una nota “sostenida”. En el piano, estas doce frecuencias se corresponden con las sucesivas series de  siete teclas blancas y cinco teclas negras. 
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En la escala temperada se intercalan notas (#) entre aquellos sonidos de la octava que distan entre sí en un intervalo de un tono. Es decir que se intercalan notas entre Do  y  Re;  Re y Mi; Fa y Sol; Sol y La ; La y Si. Pero en cambio no se intercalan notas entre Si y Do, y tampoco entre Mi y Fa, ya que la distancia entre estos sonidos es de un semitono. Como resultado de estas modificaciones todos los sonidos sucesivos de la escala temperada están separados entre sí por una distancia de  un  semitono.

En la actualidad las notas musicales no se definen a partir de la longitud del objeto vibrante, sino a partir de la frecuencia de vibración de la onda sonora emitida por dicho objeto. La frecuencia y la longitud de una onda sonora se encuentran vinculadas por medio de la ecuación: \(  f=\dfrac{v}{l}  \).
Donde f es la frecuencia expresada en hercios;  v es la velocidad del sonido en metros/seg; y l es la longitud de la onda en metros. Las bajas frecuencias corresponden a tonos graves, mientras que las altas frecuencias caracterizan a los tonos agudos.

En la escala temperada las frecuencias de dos notas sucesivas verifican: \(  f_{n+1}=f_{n} \cdot K  \).

Teniendo en cuenta que se debería de verificar que \(  f_{DO} = 2 \cdot  f_{Do} =  \left ( K \right )^{12} \cdot  f_{Do}  \) , resulta  \(  K= \sqrt[12]{2} =1,05946309436... \cong 1,059  \)

Así, si sabemos que  \(  f_{Do} \cong  261\) hercios, podremos conocer \(  f_{DO}=  261 \cdot \left ( 1,059 \right )^{12}   \)

Estos cálculos eran fáciles de realizar en el siglo XVIII gracias a la invención de los logaritmos (siglo XVI).

  \( ln \left ( f_{DO} \right )= ln (261)+12\cdot ln(1,059)= 6,2524212    \)  por tanto \(   f_{DO}\cong   519,26 \) hercios.

En  1627  el  matemático  francés  Mersenne  formula  en  su  obra Harmonie  Universelle la  relación  entre  la  longitud  de  la  cuerda  y  la  frecuencia.  Proponía  la  creación  de una  escala  en donde  todos  los  intervalos  son  iguales:  la  escala  cromática  de  12 semitonos.  Una de sus mayores contribuciones fue sugerir que el valor de la razón que determina un semitono fuera el número irracional: 
\[    \sqrt{\sqrt{\frac{2}{3-\sqrt{2}}}}  =  1,0597326722...\]
Este valor era más afinado que el calculado por Vincenzo Galilei  18/17= 1,0588... que todavía se utiliza hoy.


Para detallar las cualidades de los sonidos que formarán parte de una obra musical se insertan en un pentagrama las figuras musicales y silencios, claves musicales, indicaciones de tiempo, compás, tempo, ...

La altura del sonido o nota musical queda determinada por la ubicación en el pentagrama, las notas ubicadas más arriba en el pentagrama representan mayor altura o sonidos más agudos; las notas ubicadas más abajo representan menor altura o sonidos más graves.

\(  1=2^{0} ;  2=2^{1} ; 4=2^{2} ;  8=2^{3} ; 16=2^{4} ; 32=2^{5} ; 64=2^{6}  \)

La duración del sonido de cada nota musical queda descrita por las figuras musicales: redonda, blanca, negra, corchea, semicorchea, fusa, semifusa. Esto definirá el ritmo de la obra musical (compás).
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Ritmo Pulso Compás
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El compás se indica mediante unas pequeñas líneas verticales en el pentagrama y define las secciones de la obra musical, el cifrado del compás queda descrito mediante una fracción en la parte izquierda del pentagrama: 4/4, 2/4, 3/4, 2/2,..., el numerador indica la cantidad de tiempos (pulsos) en cada compás y el denominador indica la pulsación o el tipo de figura que ocupa cada tiempo (2 indicaría que una blanca ocupa un tiempo, 4 que es una negra la que lo ocupa, 8 que es una corchea, y así sucesivamente).
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Figuras musicales
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Ritmos // compases 4/4, 3/4
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Ritmos // compás 4/4
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Compases irregulares 9/8 11/16 7/4
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Pentagrama en clave de Sol

El nombre de las notas dependerá de su ubicación en el pentagrama y de la clave musical. Clave de Sol (Sol segunda línea), clave de Fa (Fa cuarta línea). Clave de Do (Do tercera línea).

El tempo expresa la velocidad (de los pulsos) de una obra. Esta velocidad suele expresarse mediante términos en italiano que se corresponden, de forma aproximada, con las siguientes pulsaciones (tiempos) por minuto:

Fuente de información y gráficos La armonía de los números

Actualmente, el tempo se expresa de forma más precisa indicando el número de notas por minuto. Por ejemplo, negra = 90 significa que en un minuto deben ejecutarse 90 negras.

Una vez establecido el valor de una nota, el resto también queda fijado. Así, si en 1 minuto de un Largo caben hasta 50 negras, también caben 50/4=12,5 redondas. Es decir, que si el tempo es Largo, una redonda dura como mínimo 60/12,5 = 4,8 segundos.

La nomenclatura de las notas musicales Do Re Mi Fa Sol La Si  tiene su origen en el siglo IX, aparecen en textos de Al-Mamún las notas musicales utilizando el alfabeto árabe:


En esa época el monje benedictino Pablo el Diácono compuso el himno Ut queant laxis (Himno a San Juan Bautista). En la sílaba inicial de cada verso, puso el nombre árabe de las notas, aunque utilizando como nota inicial el Do, a la que rebautizó como Ut:

Ut queant laxis
Resonáre fibris
Mira gestórum
muli tuórum
Solve pollúti
bii reátum
Sancte Ioánnes”

El monje benedictino italiano Guido de Arezzo (992-1050) es considerado el padre de la notación musical porque la desarrolló dentro de un patrón de cuatro líneas (tetragrama), popularizando los nombres de las notas utilizados en el Himno a San Juan Bautista de Pablo el Diácono. Anteriormente era utilizado el alfabeto latino: A B C D E F G, que sigue siendo utilizado en el mundo anglosajón.

Guido de Arezzo utilizó un esquema nemotécnico especial con forma de mano, conocido como la «mano guidoniana». Este esquema tuvo bastante éxito y dio origen al tetragrama, predecesor del moderno pentagrama.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/Guidonian_hand.jpg
Manuscrito medieval, siglo XV  "mano guidoniana"



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24.8.18

Arquitectura: Cubiertas y Paraboloides hiperbólicos



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Las cubiertas formadas por paraboloides hiperbólicos se encuentran dentro de las llamadas estructuras laminares, este tipo de estructuras se viene estudiando y construyendo de manera regular desde la primera mitad del siglo XX, para su desarrollo fue necesaria la investigación desde distintas disciplinas: la geometría, el cálculo, los materiales y la construcción.

Antoni Gaudí fue consciente de que el arco de catenaria es la forma más perfecta que la mecánica proporciona para llevar las cargas al terreno evitando las flexiones, y aportó las primeras estructuras laminares con forma de superficies alabeadas.


   Tomado de  Superficies regladas
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Desde que Carl Friedrich Gauss dedujera las ecuaciones de las superficies regladas, se podría decir que ningún arquitecto había sido consciente de las posibilidades que estas formas brindaban hasta Antoni Gaudí, que libre de prejuicios formales percibió las ventajas con las que cuentan en materia de construcción.

Fuente imágenes: Nieves Díaz (Deviant Art)
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Estas formas, cuyas definiciones y ecuaciones pueden resultar complejas, se encuentran en la Naturaleza de manera más habitual de lo que se puede pensar, de lo que se puede deducir que son eficientes y rentables. Además, según Gaudí, la Naturaleza crea formas que son útiles y hermosas al mismo tiempo, por lo que, quizá, deberían ser más utilizadas que otras más comunes en arquitectura, como la esfera o el cubo.

Estudio tensiones estructura La Jacaranda (Félix Candela) realizado por Julio Guardado Díaz
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Las estructuras laminares son elementos que cubren espacios en los que predominan las dimensiones de la planta frente al espesor de la lámina. Su forma y continuidad estructural es lo que las hace funcionar, para ello tienen que ser lo suficientemente delgadas para no desarrollar importantes tensiones de flexión, corte o torsión. Toda su labor se basa en que todos los esfuerzos internos sean normales, de tracción o compresión, y tangenciales.

La carga debe estar, preferiblemente, uniformemente distribuida y no presentar variaciones bruscas ni cargas puntuales. Esto indica que el apoyo de linternas o elementos puntuales sobre estas cubiertas complica su resolución, y así lo demuestran los ejemplos construidos que evitan cualquier elemento ajeno a la continuidad de la lámina.

La forma es la característica fundamental que la hace resistir, debe variar sus radios de curvatura sobre la superficie de manera continua, el espesor se ha de relacionar de manera directa con el radio de curvatura.

Las condiciones de borde tienen que ser tales que estén libres de flexiones como el resto de la superficie. Las generatrices del contorno pueden estar libres o unidas, esto solo hará variar la ley de reparto de esfuerzos.

Las estructuras laminares de manera general se clasifican en tres grandes grupos:
i)   el grupo de las superficies sin curvatura en el que se encuentran las láminas plegadas. En estas predomina el estado de flexión frente al de membrana.

ii)  las superficies de curvatura simple, son las que tienen forma cilíndrica o cónica, en estas superficies también conviven los dos estados, pero en este caso el de membrana predomina sobre la flexión.

iii)  las superficies de doble curvatura, dentro de las que se encuentra el paraboloide hiperbólico y son las que están en estado de membrana puro. Las superficies de doble curvatura pueden ser de curvatura de Gauss positiva o sinclásticas, a este grupo pertenecen los casquetes o los paraboloides elípticos. O de curvatura de Gauss negativa o anticlásticas, en el que se encuentran el paraboloide hiperbólico y el hiperboloide.

La principal diferencia entre las superficies de curvatura simple y de doble curvatura está en que las primeras son figuras desarrollables, con curvatura de Gauss nula, y se pueden realizar a partir de figuras planas, lo que facilita una primera aproximación al diseño y posterior construcción.

El paraboloide hiperbólico presenta una gran ventaja frente a las formas desarrollables y a las otras formas de doble curvatura, que se genera a partir de una familia de rectas que se va apoyando sobre otras dos rectas, lo que significa que es una superficie con dos sistemas de generatrices y directrices rectilíneas que facilitan su adaptación a plantas de carácter ortogonal típicas de la arquitectura moderna y favorecen su construcción en cuanto a la elaboración de los encofrados y la colocación de las armaduras. Que tenga curvaturas con el signo cambiado, y curvatura de Gauss negativa, es otra cualidad que también la mejora frente a otras, ya que pasa a considerarse como estructura tensada que puede ser utilizada en estructuras textiles.


Cripta iglesia Colonia Güell (Gaudí)
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El ingeniero Eduardo Torroja Miret (1899–1961) y el arquitecto Félix Candela Outeriño (1910–1997) son dos de las figuras más destacadas dentro del mundo de las láminas de hormigón armado en el siglo XX.

Si bien Antoni Gaudí, para la construcción de paraboloides hiperbólicos, contaba solo con hiladas de ladrillo o piedra sobre muros no paralelos en el espacio, Torroja y Candela ya tienen más medios a su alcance y consiguieron aprovechar al máximo las virtudes del hormigón armado.

Mercado de Abastos de Algeciras (Eduardo Torroja)
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En 1933 Eduardo Torroja, a partir de modelos a escala, se lanzó a construir la cubierta del Mercado de Abastos de Algeciras, que salvó 47,80 metros de luz con un espesor de 9 cm.

Félix Candela, años más tarde, también inició su carrera en el mundo de las láminas a través de modelos a escala. El primero fue una lámina funicular que levantó en la Escuela Experimental de Ciudad Victoria en 1950 y fue, en 1953, en la Colonia Vallejo cuando realizó el primer modelo de cubierta, a partir de trozos de paraboloide hiperbólico (hypar).


EL PARABOLOIDE HIPERBÓLICO (HYPAR)


El paraboloide hiperbólico es una lámina de curvatura doble, anticlástica. Se puede definir desde dos puntos de vista diferentes: (i) a partir de dos curvas o (ii) de dos familias de rectas.

i)  La superficie se genera trasladando una parábola paralela a sí misma sobre otra de curvatura inversa, si las parábolas se encuentran en dos planos que forman 90º el paraboloide hiperbólico se denomina equilátero, si no se denomina no equilátero.



ii)  Expresado desde el punto de vista de una superficie reglada se define el paraboloide hiperbólico a través de dos familias de rectas, una familia - las asíntotas de las hipérbolas, generatrices- que se desplaza de manera paralela, apoyándose sobre otra formada por dos rectas - directrices- que se cruzan, de inclinaciones diferentes y separadas una determinada distancia.


https://flashbackdallas.files.wordpress.com/2014/04/hyperbolic_paraboloid.jpg
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Las secciones rectas que se dan en un paraboloide hiperbólico pueden ser parábolas si son verticales, hipérbolas si son horizontales o rectas si siguen la dirección de las generatrices. Esta aptitud para ser segmentado, llevó a Félix Candela a reflexionar sobre la posibilidad de combinar diferentes trozos, para que trabajaran de manera conjunta, siendo más eficaces que la superficie continua de un mismo hypar. Surgiendo lo que llamó "el paraguas" que admite diversas formas, en voladizo con un apoyo central o apoyado en las cuatro esquinas.

Son muchos los proyectos de Félix Candela que surgen de las diferentes combinaciones de porciones de hypar:

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– En abanico: retorciendo casi 90º los paraboloides hiperbólicos, exagerando la altura, en planta triangular y uniendo varios. Como en la iglesia de la Medalla de la Milagrosa, o la entrada a los laboratorios Lederle.

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– Con bordes rectos: va desde la estructura formada por una sola hoja de forma cuadrada, hasta la combinación de varias hojas de formas romboidales. La inclinación respecto del eje vertical es otra de las variables que se pueden introducir, para conseguir otros efectos, como en la iglesia de San José Obrero (1959).

Arquitectura alzado de acceso pabellón
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– Con bordes curvos: constituye la típica forma de silla de montar donde se perciben las parábolas más fácilmente. En 1951 se construye la cubierta del Pabellón de Rayos Cósmicos, que se considera el primer cascarón de Candela con esta forma.


Capilla de Cuernavaca (Félix Candela)
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En la cubierta de la Capilla de Cuernavaca (1958, Morelos, México) Candela enseñó las dos posibilidades de borde curvo, la parábola en el espacio principal y la hipérbola en el contacto con el suelo.

– Bóvedas por arista: en este caso se utiliza el hypar no equilátero, ya que en el equilátero al tener las direcciones rectas perpendiculares entre sí, coincidirían con las aristas de una bóveda cuadrada y, por tanto, serían rectas. Esto dificulta demasiado el cálculo, ya que hay que considerar un sistema de coordenadas oblicuas.



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La primera bóveda de este tipo se levantó en 1955 en el edificio de la Bolsa de Valores de México y en ella Félix Candela intuye la posibilidad del borde libre (de esfuerzos), ya que cada punto del borde curvo está conectado a las aristas por dos líneas rectas, a través de las que se pueden derivar las cargas, para llevarlas a los apoyos, dejando así el borde libre de esfuerzos tangenciales o normales.



Los ejemplos más famosos son el restaurante de Los Manantiales (1957) en Xochimilco y la nave de la destilería de Bacardí (1960) en Cuautitlán.


 Destilería de Bacardí en Cuautitlán (Félix Candela)
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En todo cálculo estructural uno de los objetivos primordiales es la obtención de un diseño óptimo. Tradicionalmente, en el campo de las estructuras, un diseño óptimo es aquel que reduce al mínimo su propio peso, por lo que este ha sido el fin de los grandes calculistas, pero no siempre es el factor determinante, o se prioriza sobre otras cualidades, como el costo o la forma.

Toda cubierta requiere una superficie continua que proteja a los usuarios de los agentes climatológicos. El hormigón armado es uno de los pocos materiales que lo consigue, simplemente ayudado por láminas impermeabilizantes. Además, es un material que puede responder, en cada punto, al esfuerzo que se requiere de manera exacta, con ambas cualidades se consigue reducir materiales de cobertura y desperdiciar material que no está trabajando.

Las únicas desventajas han sido, en tiempos pasados, la dificultad de controlar la calidad y la homogeneidad del hormigón dentro del mismo elemento o la misma obra.

Las membranas son estructuras que minimizan la cantidad de material, ya que se evitan los esfuerzos de flexión y cortante, con lo que el hormigón solo tiene que trabajar a compresión y, ayudado por el acero, a tracción.

Para que una superficie funcione como cáscara necesita formas curvas, cosa que dificulta su diseño, tanto a nivel gráfico como constructivo. La forma que tiene el paraboloide hiperbólico presenta las mejores cualidades como membrana a nivel estructural.
a) Su doble curvatura hace que tenga la cualidad de estructura tensada por lo que cada línea de carga funciona a compresión, cuando tiene su concavidad al interior; y a tracción cuando tiene la convexidad hacia el interior. Es decir, hace simultáneamente la función arco y cable. Además dota de la suficiente rigidez a la superficie, no siendo necesarias estructuras secundarias del tipo arcos fajones.

b) El modo de generarse a partir de dos familias de rectas permite poder definirla a partir de coordenadas cartesianas, por medio de sencillas ecuaciones de primer grado, lo que facilita la distribución de las armaduras necesarias, creando los nervios sobre las rectas generatrices.

c) Los bordes generados por las secciones de planos rectos permiten obtener rectas, parábolas o hipérbolas, que la hace muy apta para enlazar bordes rectos con formas curvas o viceversa. Con esto, a partir de trozos de hypar se pueden generar infinitas formas. Además si los bordes se alejan de la dirección de una de las directrices, reparten mejor los esfuerzos y se consigue liberar el borde, dando aspecto de liviandad a la estructura.

Los problemas fundamentales son a nivel de ejecución, ya que es fácil la fisuración por retracción. Las condiciones acústicas que presenta, también pueden suponer un inconveniente, ya que son peores que en las formas de curvatura simple, cilindros y conos.

La desventaja fundamental del paraboloide hiperbólico y su caída en desuso, como de otras formas de membrana, aparte de corrientes o estilos arquitectónicos, se debe a la elaboración del encofrado. A partir de los años setenta, el incremento del costo de la mano de obra hacía difícil la construcción de este tipo de cubiertas, pese a que los encofrados son fáciles de montar, por medio de tablas rectas, una contra otra, siguiendo las direcciones de las generatrices, pero son laboriosos de realizar, además de no ser reutilizables. La prefabricación, tanto de las cubiertas como de los encofrados, no ha sido posible llevarla a cabo hasta ahora.

Estas cubiertas, para que funcionen, deben ser continuas y no se ha logrado una unión artificial que permita la continuidad de los esfuerzos. Se pueden obtener superficies similares, pero su modo de trabajar no sería el mismo y, por lo tanto, los espesores en relación a las luces que cubren, no serían tan buenos como en las estructuras laminares.

La solución pasa por encontrar un material que no requiera el uso de encofrados. Se ha intentado la utilización de materiales ligeros que permitan el modelado, como algunos metales, pero su resistencia no se puede comparar a la del hormigón. La otra opción es la de conseguir unos encofrados prefabricados y reutilizables, como hace el arquitecto suizo Heinz Isler, es un buen modo de que estas cubiertas sean factibles, pero lógicamente se pierde la gran variedad de posibilidades que el paraboloide hiperbólico proporciona.

Información extraída de: "Cubiertas formadas por paraboloides hiperbólicos: Ventajas en su funcionamiento estructural y en su construcción" (autora: Mónica Morales Segura, Actas VI Congreso Nacional de Historia de la Construcción, 2009 )

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La arquitectura no construida de Félix Candela (proyectos 1939-1997)

15.8.18

Evolución histórica: Ordenadores e Informática


En 1614 el escocés John Napier publica una obra en la que se explica por vez primera el uso del logaritmo, función que permite transformar las multiplicaciones en sumas y las divisiones en diferencias. El cálculo logarítmico supuso para los astrónomos de la época un adelanto semejante al que supusieron las computadoras en el siglo XX.

En 1617 John Napier da a conocer el ábaco rabdológico cuya función era calcular productos y cocientes. Estaba compuesto por una tabla numerada en un lateral y varias varillas de marfil.
Ábaco neperiano (Museo Arqueológico Nacional español)
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Pocos años más tarde, entre 1620 y 1630, aparece la regla de cálculo, invento que se atribuye a William Oughtred. La regla de cálculo permitía realizar operaciones aritméticas mediante escalas basadas en los logaritmos: se emplean líneas superpuestas de números que se desplazan, permitiendo realizar los cálculos.
En 1623 el astrónomo alemán Wilhelm Schickard inventa la primera máquina de cálculo, a la que llamó reloj calculador y que fue ideada para ser usada por su amigo astrónomo Johannes Kepler, a quien escribió unas cartas en las que adjuntaba diversos bocetos del invento y detallaba su funcionamiento (usaba discos dentados), lo que sirvió para hacer una reconstrucción a escala que está expuesta en el Museo de la Ciencia de Munich.

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El modelo original fue destruido en un incendio. Es considerada como la primera calculadora mecánica.
El físico y matemático francés Blaise Pascal a la edad de 19 años desarrolló, en 1642, un calculador mecánico, primeramente llamado Máquina aritmética, y después Pascalina, para realizar sumas y restas. Usaba un sistema de ruedas dentadas similar al que ideó Schickard. La base de las operaciones consistía en contar los dientes de un engranaje, al igual que un cuenta kilómetros.
Uno de los primeros lenguajes de programación informática lleva su nombre: el lenguaje Pascal (1970).
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), filósofo, matemático, físico, jurista y político alemán, tiene también un lugar importante dentro de la historia de la informática. Mención especial merece la creación del cálculo infinitesimal, descubrió el cálculo diferencial. Fue el precursor de la lógica matemática, proponiendo un sistema binario para la realización de cálculos.


Leibniz también inventó una máquina de cálculo que se llamó Calculadora Universal, capaz de realizar sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones e, incluso, raíces cuadradas. Su elemento característico era un tambor cilíndrico con nueve dientes de longitud variable, llamado rueda escalonada o rueda de Leibniz, que se encuentra en prácticamente todas las calculadoras mecánicas posteriores, incluso en algunas del siglo XX.
Estas no eran máquinas automáticas ya que requerían la intervención humana durante el proceso.
A comienzos del siglo XIX, el francés Joseph-Marie Jacquard inventa un telar mecánico cuyos diseños se reproducían gracias a una serie de tarjetas perforadas, las cuales permitían repetir el diseño del dibujo en la tela siempre que se desease. Las tarjetas perforadas transmitían a la tejedora las instrucciones necesarias para su funcionamiento.

El matemático e ingeniero británico Charles Babbage es considerado el auténtico padre de los ordenadores. Debido a los numerosos errores que se producían en el cálculo de tablas matemáticas, tuvo la idea de crear una máquina que ejecutara ese trabajo, eliminando el error humano y facilitando la tarea de realizar operaciones repetitivas. En 1822 presentó su proyecto para el desarrollo de la 'máquina diferencial' en la Royal Astronomical Society. Resolvía polinomios de segundo grado mediante un método numérico diferencial. Era capaz de realizar cualquier cálculo y de almacenar programas.


En 1833, Charles Babbage se centra en un nuevo proyecto: una máquina que tuviera un propósito general, que fuera capaz de resolver múltiples problemas matemáticos. La llamaría Máquina Analítica. Funcionaba a vapor y constaba de un mecanismo de entrada y salida mediante tarjetas perforadas basadas en el modelo de Jacquard, una memoria para 1.000 números de 50 cifras, una unidad de control para que las operaciones se realizasen en el orden correcto y una unidad aritmético-lógica para los cálculos. Incluso disponía de un sistema de impresión en papel similar al que se usaría varias décadas después. Este invento es considerado el primer ordenador de la historia.


Babbage contó con la colaboración de la matemática Ada Augusta Byron (1815-1852), hija de Lord Byron, que fascinada por el trabajo del inventor, participó en el patrocinio y la promoción de la máquina analítica.
Ada escribió diversos programas para resolver ecuaciones trascendentes e integrales definidas. De este modo se considera a Ada Byron como la primera programadora de ordenadores del mundo. En su honor se llamó Ada al lenguaje de programación desarrollado en 1979 a instancias del Departamento de Defensa de los Estados Unidos, que buscaba estandarizar los numerosos programas que existían.
Charles Babbage murió sin lograr terminar de construir su gran invento, pero sus ideas y diseños sentarían las bases para el desarrollo de los ordenadores modernos.
George Boole, matemático y filósofo británico, hizo público en 1854 un estudio sobre las leyes del pensamiento en las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad, aplicando símbolos a operaciones lógicas. Surge así el álgebra de la lógica o álgebra de Boole, que en el siglo XX sería aplicado en la construcción de ordenadores y circuitos.
Herman Hollerith ingeniero neoyorquino de origen alemán, consiguió por vez primera automatizar el procesamiento de grandes cantidades de información con la ayuda de un aparato de propia creación: la máquina censadora o tabuladora 


En 1879 Hollerith desarrolla un sistema de cómputo automatizado, y lo hizo diseñando una máquina que utilizaba tarjetas en las que se representaba la información mediante perforaciones que eran detectadas por la máquina, clasificando (tabulando) debidamente la información según la lógica de Boole.

En 1896 Hollerith fundó su propia compañía, Tabulating Machine Company, que en 1911 se fusionó con otras dos empresas, formando la Computing Tabulating Recording Company (CTR), ésta a su vez pasa a manos de Thomas Watson en 1914 y diez años más tarde, en 1924, tomaría  el nombre de International Business Machines (IBM).

La aparición de la tecnología eléctrica permite la incorporación de relés, interruptores binarios con 2 posiciones: encendido-apagado. Se recupera el sistema de numeración binario, ya usado por Leibniz. Importante es la aportación de Boole que reduce la lógica (operaciones matemáticas) a  combinaciones de Verdadero-Falso.

En agosto de 1936 Alan Mathison Turing publicó un artículo sobre el funcionamiento de calculadores binarios. La Máquina de Turing era una máquina teórica que sería capaz de transformar con precisión operaciones elementales, previamente definidas, en símbolos. Prácticamente al mismo tiempo, en Estados Unidos, Alonzo Church dió a conocer el 'Lambda Calculus', un trabajo equivalente, naciendo así la Tesis de Church-Turing.
Por ello,Turing y Church, son considerados padres de la Ciencia de la Computación y la Inteligencia Artificial.
Basándose en estos fundamentos, el ingeniero Konrad Zuse construyó en 1938 la Z1, un prototipo de computadora electromecánica de sistema binario que podía ser programada y usaba relés eléctricos para automatizar los procesos, leyendo las instrucciones de una cinta perforada.
No llegó a funcionar correctamente debido a la imperfección de las piezas mecánicas.


En 1941 creó la Z3, disponía de una memoria de 64 palabras, procesador, unidad de lectura y unidad de control que decodificaba la instrucción leída y transfería los datos.

En 1950 realiza la primera venta de un ordenador a una compañía suiza, sería el modelo Z4.

John Vincent Atanasoff estadounidense de origen búlgaro, doctor en Física teórica, es considerado el inventor del ordenador digital electrónico. Atanasoff concibió la idea 'en una taberna de Iowa', durante el invierno de 1937. Estableció los cuatro principios básicos en los que se fundamentaría su invento: el uso de electricidad y componentes electrónicos, un sistema binario, condensadores como elementos de memoria y un sistema lógico para el cómputo ( y no la enumeración, como ocurría con las máquinas análogas).
La construcción se realizó entre 1937 y 1942, y Atanasoff contó con la ayuda de Clifford Edward Benning, un alumno de ingeniería eléctrica. En diciembre de 1939 habían terminado un prototipo que funcionaba correctamente y al que llamarían ABC (Antanasoff Berry Computer).
En 1940 Antanasoff asiste a una conferencia del Dr. John William Mauchly y le muestra su máquina.

Mauchly copia  ideas de la ABC para diseñar junto con John Presper Eckert la ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer), considerada la primera computadora digital electrónica del mundo, hasta que en 1967 un litigio entre Honeywell y Sperry Rand Corporation (que había adquirido la patente sobre la ENIAC), provocó que un juez concluyera en 1973 que la patente de ENIAC no era válida.
En 1938 se publicó la tesis del ingeniero y matemático estadounidense Claude Elwood Shannon, sobre la Teoría matemática de la Comunicación, en la que demostró cómo el álgebra de Boole se podía utilizar en el análisis y la síntesis de la conmutación y de los circuitos digitales y cómo la combinación de circuitos podía representar operaciones aritméticas y lógicas complejas, relacionando así lógica y electrónica. Las aportaciones de Shannon serían fundamentales también en el desarrollo de la criptografía y los sistemas de compresión de datos.
En febrero de 1944, el ingeniero estadounidense Howard Hathaway Aiken, financiado por IBM, termina la construcción del ordenador electromecánico MARK I, basándose en los diseños de la máquina analítica de Charles Babbage. Tenía unas dimensiones gigantescas: medía unos 15,5 metros de largo, unos 2,40 metros de alto y unos 60 centímetros de ancho, su peso era de unas cinco toneladas y en su interior se repartía un cableado de unos 800 kilómetros de longitud con casi 3 millones de conexiones. Estaba compuesta por unas 750.000 piezas, y cerca de 1500 interruptores. Hacía uso del sistema decimal en lugar del binario, y contenía 72 registros mecánicos, cada uno de los cuales podía almacenar 23 dígitos decimales más un dígito para el signo.


El 15 de febrero de 1946 se hace una presentación pública en la Universidad de Pennsylvania de ENIAC.

Fue el primer computador digital electrónico. Pesaba 32 toneladas y medía 2,40 metros de ancho por 30 de largo. Estaba compuesto por 17.460 válvulas, 7.200 diodos de cristal, 1.500 relés, 70.000 resistencias, 10.000 condensadores y 5 millones de soldaduras, produciendo tal calor que la temperatura de la sala en que se encontraba llegaba a los 50ºC. Disponía de capacidad para resolver en un segundo 5.000 sumas y 360 multiplicaciones, aunque para reprogramarla era preciso cambiar de posición las conexiones de los cables, lo que requería un trabajo muy laborioso.


En 1952 se concluyó la construcción del EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer). Diseñada también por Mauchly y Eckert, a quienes se unió el matemático húngaro John von Neumann. Esta computadora contaba por primera vez con capacidad de almacenamiento de memoria para los programas, lo que evitaba el tedioso trabajo de reconexión que era necesario en la máquina ENIAC. La memoria consistía en líneas de mercurio dentro de un tubo de vidrio al vacío, donde un impulso electrónico podía ir y venir en 2 posiciones, para almacenar los ceros y unos, empleando así números binarios. Constaba de 4.000 válvulas y 10.000 diodos de cristal, con una autonomía de hasta 8 horas.


El transistor (Transfer Resistor) es inventado por los Laboratorios Bell Telephone en 1947. Acabará sustituyendo a los tubos de vacío o válvulas, debido a la gran diferencia de sus prestaciones: tamaño minúsculo, menor coste y menor consumo eléctrico, generando así también menos calor. La vida útil del transistor es prácticamente ilimitada, mientras que las válvulas debían ser reemplazadas con mucha frecuencia. Las primeras computadoras construidas completamente a base de transistores fueron introducidas por las compañías NCR (NCR 304,1957) y RCA (RCA 501,1958). Sin embargo, IBM creó los modelos más populares en la década de los 60. El primer modelo de IBM que empleaba transistores fue el IBM 7090, creado a finales de 1958.
Tiene lugar también la ampliación de las memorias internas, la generalización del concepto de arquitectura modificable y el uso de periféricos de gran masa de memoria como los tambores y discos magnéticos.
Aparecen los lenguajes ensambladores que traducen las instrucciones del código máquina:
- FORTRAN (Formula Translator), lenguaje empleado en aplicaciones científicas y desarrollado entre 1954 y 1957 por la compañía IBM.
- LISP (List Processing) creado en 1958 por John McCarthy en el Instituto Tecnológico de Massachusetts.
- COBOL (Common Business Oriented Language) informática de gestión empresarial.
- ALGOL (Algorithmic Language). Usado en las universidades.
En 1959, el ingeniero estadounidense Jack St. Claire Kilby inventó el circuito integrado monolítico cuando trabajaba para Texas Instruments. El invento original era un dispositivo creado con un monocristal de germanio que integraba seis transistores en una misma base semiconductora. Esto permitió por un lado abaratar costos y por el otro aumentar la capacidad de procesamiento reduciendo el tamaño físico de las máquinas.


En 1974, la empresa estadounidense Intel Corporation presentó el modelo de microprocesador 8080. Contenía 4.500 transistores y podía manejar 64k de memoria RAM. El 8080 fue el cerebro del primer ordenador personal (PC), el Altair 8800, fabricado por la compañía MITS (Micro Instrumentation Telemetry Systems). El primer modelo no contaba con monitor ni teclado, tan sólo con luces LED y pequeñas palancas o switches para facilitar la programación. La información era almacenada en cassettes de grabadoras y era visualizada en aparatos de televisión.
El primer lenguaje de programación para la máquina fue el Altair BASIC, escrito por William Henry Gates y Paul Allen, quienes después fundarían Microsoft. El Sistema Operativo que utilizaba el Altair 8800 era el CP/M (Control Program for Microcomputers), escrito por Gary Kildall.


En 1976 Steve Wozniak (entonces ingeniero en Hewlett-Packard) y Steve Jobs (que trabajaba en Atari) fabrican en el garaje de su casa la microcomputadora Apple I. Steven Jobs convenció a Wozniak para continuar la fabricación para la venta al público y en abril de 1976 nació la empresa Apple Computers. El Apple I se construía manualmente y no llegó a ser vendido de forma masiva.
En 1981 IBM lanza al mercado su primer IBM-PC. En esta época destaca el desarrollo de los sistemas operativos, que buscan una integración entre el usuario y el ordenador, a través de la utilización de gráficos.
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Documental: Evolución del Ordenador

Historia de los ordenadores