15.10.17

Evolución histórica del Cálculo Diferencial e Integral

Eudoxo de Cnido (s. IV a.C.) fue discípulo de Platón y el matemático más importante de la época helénica. Sus obras se perdieron y lo que conocemos es gracias a Euclides.

Podemos decir que Eudoxo es el padre del Cálculo integral, gracias a su método para comparar figuras curvilíneas y rectilíneas. Era conocido el método de inscribir y circunscribir figuras poligonales, pero no se razonaba el porqué de la aproximación de la línea poligonal a la curva, no se disponía de la idea de límite.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/750px-Archimedes_pi.svg.png

Fue Eudoxo el que formalizó esta idea en lo que hoy se conoce como método de exhausción o axioma de Arquímedes (aunque el propio Arquímedes reconoció que se debe a Eudoxo):

"Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad y si continuamos repitiendo este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano."

En lenguaje moderno, Eudoxo decía:

\(  \lim_{n\rightarrow \infty} M (1-r)^{n}=0       \) siendo  \(  \frac{1}{2}\leqslant r< 1   \)

Nos tenemos que trasladar al siglo XIV para encontrar una figura de gran interés: Nicolás de Oresme (1323-1382). Fue el primero que concibe las coordenadas en el plano como las usamos hoy. Él las  denominaba latitud y longitud. Y daría un paso de gigante cuando representó "cómo varían las cosas" mediante una gráfica. La gráfica se refería a un cuerpo moviéndose con un movimiento uniformemente acelerado.

Oresme decía:
"Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento rectilíneo."
 
Sobre la recta horizontal cosideraba los sucesivos instantes del tiempo (longitud) y para cada instante traza un segmento perpendicular (latitud), cuya medida representa la velocidad en ese instante.
Oresme percibió que si un cuerpo parte del reposo entonces la totalidad de los segmentos velocidad (ordenadas) cubren el área del triángulo. Y se da cuenta de que este área representa la distancia recorrida. Curiosamente, Oresme no nos explica por qué el área bajo la curva velocidad-tiempo representa el espacio recorrido. Hoy sabemos que estaba en lo cierto.

Es decir, Oresme percibió los fundamentos del cálculo infinitesimal:
    >>  manera en que varía una función, es decir, la ecuación diferencial de la curva.
    >>  manera en que varía el área bajo la curva, es decir, integral de la función.

En el siglo XVI, tanto Simon Stevin como Kepler y Galileo, necesitaron para sus problemas prácticos el método de exhausción (Eudoxo), pero querían evitar las sutilezas lógicas que provocaba. Fueron, en gran medida, las modificaciones de los antiguos métodos infinitesimales, las que condujeron al cálculo infinitesimal.

El hecho de que fueran ante todo físicos y astrónomos, y no tuvieran una formación matemática muy rigurosa, provocó que fuese Bonaventura Cavalieri, discípulo de Galileo, el que formalizase sus ideas sobre los infinitésimos. El teorema más importante de Cavalieri fue el equivalente de la igualdad moderna:

\(   \int_{0}^{a} x^{n}dx=\dfrac{a^{n+1}}{n+1}     \)

El razonamiento que siguió para deducirla fue muy distinto a nuestra forma de ver hoy.


Consideró un paralelogramo ACDF,  y los triángulos ACF, CDF. Toma el segmento HE como un "indivisible" del triángulo CDF, traza BC = EF, y la paralela BM a CD, resulta BM un "indivisible" de ACF. Deduce entonces Cavalieri que existe una relación biunívoca de los indivisibles de ambos triángulos. Las áreas de ambos triángulos (suma de indivisibles) son iguales. Y como el paralelogramo es la suma de todos los indivisibles de ambos triángulos, resulta que la suma de los segmentos "x" de un triángulo, \(   0\leqslant x\leqslant a     \), es la mitad de la suma de los segmentos "a" = AF en el paralelogramo, \(a·a \).
\[  \int_{0}^{a}x dx = \dfrac{1}{2}a^{2}   \]

Utilizando un razonamiento considerablemente más complicado consigue demostrar Cavalieri que la suma de los cuadrados de los segmentos en el triángulo es igual a un tercio de la suma de los cuadrados de los segmentos en el paralelogramo. Para los cubos de los mismos segmentos halló que la razón era 1/4; extendió la demostración a potencias más altas, hasta considerarse autorizado a afirmar, en su obra Exercitationes geometricae sex (1647), la generalización a potencias n-ésimas de dichos segmentos.

https://www.sophiararebooks.com/pictures/2584.jpg

En 1653 se reedita la Geometría indivisilibus de Cavalieri, pero para entonces los matemáticos franceses habían conseguido resultados notables que dejaban obsoleto el planteamiento geométrico tan laborioso de Cavalieri.

Pierre de Fermat es considerado el padre del Cálculo diferencial. Fue una pena que Fermat no publicase prácticamente nada en vida, él solo se consideraba un matemático aficionado.

En su trabajo "Método para hallar máximos y mínimos" (no publicado en vida), Fermat nos pone en contacto con un proceso que hoy conocemos como diferenciación.

Fermat explica: "en una función polinómica, si comparamos su valor en un cierto punto x, con el valor de la función en x+E, cuanto más pequeño sea el intervalo E entre ambos puntos, resultará que ambos valores \(  f\left ( x \right )  \) y \(  f\left ( x+E \right )  \) aunque no son exactamente iguales, están cerca de serlo."

\[  \frac{f\left ( x \right )}{E}=\frac{f\left ( x+E \right )}{E} \]

Fermat divide ambos valores por E, e imagina E= 0. De esa igualdad deduce el valor de las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica.

En lenguaje actual:  \[  \lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( x+E \right )-f\left ( x \right )}{E}=0  \]

El procedimiento de Fermat consistente en cambiar ligeramente el valor de la variable para considerar valores próximos a uno dado, ha constituido desde entonces la verdadera esencia del análisis infinitesimal.

Fermat, trabajando en geometría analítica, descubrió cómo aplicar su procedimiento a una curva algebraica, \(   y= f\left ( x \right )     \), para hallar la tangente.


Sea P(a,b) punto sobre la curva en el que se desea hallar la tangente.
Sea \( P_{1}\left ( a+E,f\left ( a+E \right ) \right ) \) tan próximo a la tangente que podemos considerarlo situado sobre la tangente a la vez que sobre la curva, aproximadamente.
Consideremos la subtangente TQ, resultará que los triángulos \(TPQ \) y \(TP_{1} Q_{1} \) son semejantes, aproximadamente.

\[  \frac{f\left ( a \right )}{TQ}=\frac{f\left ( a+E \right )}{TQ+E} \]

A partir de esta igualdad y suponiendo que E=0, Fermat obtiene TQ, subtangente que determina unívocamente, junto con el punto P, la tangente buscada.

El método de Fermat equivale  a decir que la pendiente de la curva en P viene dada por:

\[  \lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( a+E \right )-f\left ( a \right )}{E}  \]

A Fermat nunca se le reconoció el mérito que le correspondía, incluso Decartes puso en duda la validez de sus métodos.

Mersenne contribuyó a divulgar algunos de los resultados de Fermat en Francia e Italia, a través de correspondencia, e incluso incluyendo estos métodos en sus obras impresas.

Fermat no solo disponía de un método para hallar las tangentes a las curvas de la forma  \(  y=x^{n} \) sino que también descubrió un resultado relativo al área encerrada bajo estas curvas, esto también fue conocido y publicado por Cavalieri en 1647, la diferencia entre ambos es que Cavalieri usaba razonamientos geométricos de indivisibles y Fermat utilizó métodos numéricos.

Fermat observó que:

\(  1^{m}+ 2^{m}+ 3^{m}+...+ \left ( n-1 \right )^{m}< \frac{n^{m+1}}{m+1}< 1^{m}+2^{m}+3^{m}+...+n^{m} \)

de lo que deduce que el área encerrada bajo la curva  \(  n^{m}  \) es \(   \dfrac{n^{m+1}}{m+1}     \)

Estos fueron los inicios, más tarde Fermat desarrollaría un método más efectivo:
"Considero la curva \(   y= x^{n}     \), supongamos que deseo calcular el área encerrada bajo la curva entre los valores \( x=0 \), \(x=a \), para ello subdivido el intervalo [0, a] en una cantidad infinita de subintervalos tomando los puntos de abscisas: \( a, a\cdot r,a\cdot r^{2}, a\cdot r^{3},...    \) donde r es un número menor que 1. En estos puntos considero las ordenadas de los correspondientes puntos de la curva, aproximando el área bajo la curva por medio de rectángulos circunscritos."


Las áreas de los sucesivos rectángulos, empezando por el mayor, vienen dadas por los términos de la serie geométrica de razón \(   r^{n+1}  \):

\(  a^{n}\cdot \left ( a- a\cdot r\right )      \)
\(   \left ( a\cdot r \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r - a\cdot r^{2}\right )= a^{n}\cdot r^{n+1}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )     \)
\(    \left ( a\cdot r^{2} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r^{2} - a\cdot r^{3}\right )= a^{n}\cdot r^{2\cdot (n+1)}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )    \)
\(  .......      \)

\( \left ( a\cdot r^{k} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r^{k} - a\cdot r^{k+1}\right )= a^{n}\cdot r^{k\cdot (n+1)}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )  \)

La suma de la serie será:
\(  \dfrac{a^{n}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )}{1-r^{n+1}}= \dfrac{a^{n+1}}{1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n}} \)

Según r se va acercando a 1, los rectángulos se hacen cada vez más estrechos, de manera que la suma de las áreas de esos rectángulos se aproxima cada vez más al área bajo la curva. Y si hacemos r =1, obtendremos que la suma de serie que nos da el área bajo la curva:

\(  \dfrac{a^{n+1}}{n+1}      \)

Fermat también probó, siguiendo este mismo razonamiento, que el método funcionaba con exponentes fraccionarios e incluso si son negativos.

Pero Fermat se encontró con un escollo, su método no funcionaba con \(   n= -1 \)

 .
Fue Gregoire de St. Vincent el que estudió este singular y exótico caso:

"Si tomamos a lo largo del eje OX, puntos tales que los intervalos que determinan van creciendo en progresión geométrica, y si en dichos puntos levantamos las ordenadas correspondientes a la hipérbola  \( x\cdot y= 1  \), entonces las áreas bajo la curva, entre cada dos abscisas sucesivas, son iguales. Es decir, según crece la abscisa geométricamente, el área bajo la curva lo hace aritméticamente."


Gregoire estaba expresando, en lenguaje matemático actual:
\[   \int_{K}^{L}\frac{1}{x}dx=\int_{L}^{M} \frac{1}{x}dx   \]

De forma algo imprecisa Gregoire intuyó que se verificaba la propiedad geométrica-aritmética de los logaritmos. Hoy sabemos que:

\[  \int_{a}^{b}\frac{1}{x} dx= ln (b)- ln(a)\]

Pero aún faltaba que Evangelista Torricelli propusiera que el logaritmo tenía asociada una gráfica, porque hasta ese momento era un recurso de ayuda para el cálculo aritmético.

Fermat se interesó por muchos aspectos de lo que hoy llamamos analisis infinitesimal: tangentes, cuadraturas, longitudes de curvas,..., por lo tanto dificilmente pudo pasarle desapercibido que al hallar las tangentes de \(  k\cdot x^{n}   \) se multiplica el coeficiente por el exponente \( n  \) y la potencia de \( x \) quedaba disminuida en una unidad, y que sin embargo al hallar el área bajo  \( k\cdot x^{n} \) se eleva el exponente en una unidad y se divide el coeficiente por este nuevo exponente.

¿Pudo pasarle desapercibido que el problema de hallar las tangentes  y las cuadraturas eran inversos? Hoy se piensa que sí lo percibió pero no le pareció importante.

Evangelista Torricelli (1608-1647) fue uno de los matemáticos más prometedores del siglo XVII, que curiosamente es más recordado por la invención del barómetro.

Torricelli dominaba a la perfección los métodos de Fermat. Estuvo muy interesado en el estudio de las trayectorias parabólicas que siguen los proyectiles disparados desde un punto fijo. Fue precísamente al pasar de la ecuación de la distancia en función del tiempo, a la de la velocidad en función del tiempo, cuando Torricelli se da cuenta del carácter inverso de la determinación de tangentes y el problema de las cuadraturas.

Si hubiera vivido más, muere a los 39 años, probablemente él hubiera sido el creador del Cálculo diferencial.

Torricelli tuvo la gloria de haber representado la primera curva en la historia de la matemática, y escogió la función logaritmo \(  y= log (x)  \).

Blaise Pascal (1623-1662) fue otro matemático que murió prematuramente, y como Torricelli, estuvo casi a punto de crear el Cálculo diferencial.

Isaac Barrow (1630-1677) en 1664 fue nombrado primer profesor Lucasiano de geometría en la Universidad de Cambridge, cátedra que ocuparía en 1669 Isaac Newton, sucediendo a Barrow.

En 1668 se publica una edición revisada de Mesolabum de René de Sluze,  que incluía una sección dedicada a la resolución de problemas infinitesimales en la que aparecía un método para determinar máximos y mínimos.


Así que Barrow decide ofrecer a través de la publicación de Lectiones geometricae (1670), en la que también participa Isaac Newton, una visión de los problemas de tangentes y cuadraturas hasta ese momento, incluyendo un tratamiento completo de los nuevos descubrimientos.

Barrow preferia las concepciones cinemáticas de Torricelli, consideraba las magnitudes geométricas como engendradas por un flujo continuo de puntos. Y aunque en principio prefiere los razonamientos de Cavalieri a los de Fermat, finalmente da un método de determinación de tangentes que es prácticamente idéntico al que usamos hoy en el Cálculo diferencial. El método de Barrow se parece al de Fermat, pero en él aparecen dos cantidades \(  a \) , \( e \) , en vez de la única cantidad E.


Barrow considera un punto P sobre la curva que es el punto de tangencia, se trata de hallar NM = t, subtangente. Imagina un arco de curva correspondiente a PQ infinitamente pequeño, siendo p la ordenada de P, y denomina a = QR , e = PR, lados del triángulo PQR.

Establece la semejanza de triángulos: \( \dfrac{a}{e}=\dfrac{p}{t}  \), en terminos actuales la pendiente vendría dada por \( \dfrac{a}{e} \).
Y procede de manera análoga a Fermat sustituyendo  \(  f(x,y)=0  \) por \(  f(x+e,y+a)=0 \), suprime los términos que no contengan "a" o "e", sustituye \(a \) por \(p \), \(e \) por \(t \). Quedando determinada \( t \) en términos de \( (x, p)  \), así que conocida la subtangente, conocemos la tangente.

Según todos los indicios Barrow no conocía directamente la obra de Fermat, porque no menciona su nombre, sin embargo cita como fuentes: Cavalieri, Huygens, Gregoire St. Vincent, James Gregory y Wallis. Así que es muy probable que llegara a conocer el método de Fermat a través de ellos. El propio Newton, que estaba en estrecho contacto con Barrow, reconoció que el método de Barrow era el de Fermat un poco mejorado.

De todos los matemáticos que anticiparon fragmentos del Cálculo diferencial e integral, ninguno se aproximó tanto como Barrow.

Barrow reconoció claramente el carácter inverso de los problemas relativos a tangentes y cuadraturas, pero su adhesión incondicional a los métodos geométricos, le impidió hacer un uso efectivo de esta relación.


Isaac Barrow: "para trazar una recta tangente a una curva, ésta última debe estar relacionada con la cuadratura de otra curva."

Barrow sabía que Newton estaba trabajando simultáneamente en los mismos problemas, así que le animó a publicar sus propios resultados. Y así fue.

https://transplantedtatar.files.wordpress.com/2013/02/books.jpg?w=960

La primera exposición del cálculo de Newton aparece en Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687). En el libro II, lema II, Newton ofrece esta críptica formulación:

"El momento de cualquier genitum es igual a los momentos de cada uno de sus lados generatrices multiplicados por los índices de las potencias de esos lados y por sus coeficientes de manera continua".

Newton entiende por genitum lo que hoy llamamos término, y por momento de un genitum entiende un incremento de él infinitamente pequeño.

Si representamos por \(a\) el momento de A y por \(b\) el momento de B, Newton demuestra que el momento de A·B es  \( a·B+b·A\) ; que el momento de \(  A^{n}  \) es \(  n\cdot a\cdot  A^{n-1}\), y que el momento de \( \dfrac{1}{A} \) es  \( \dfrac{-a}{A^{2}} \). Estas misteriosas expresiones resultaron ser equivalentes a las diferenciales de un producto, una potencia y un inverso. Esto explicaría por qué tan pocos matemáticos de la época llegaron a dominar el nuevo análisis con la terminología usada por Newton.

Newton no fue el primero en efectuar diferenciaciones e integraciones, ni tampoco el primero que observó las relaciones que existian entre ambas operaciones. A Newton, finalmente, se le considera el verdadero inventor del Cálculo, debido a que fue capaz de explotar con gran provecho, la relación inversa entre pendiente y área. Además de consolidarlo a través de un algoritmo general aplicable a todas las funciones algebraicas y trascendentes.

En la primera edición de los Principia ( Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) reconocía Newton que Leibniz estaba en posesión de un método análogo al suyo, pero en la tercera edición, en 1726, Newton suprimió esta referencia. Coincidiendo con la agria disputa entre los seguidores de ambos matemáticos acerca de la prioridad en el descubrimiento del Cálculo.

Actualmente está ya completamente claro  que el descubrimiento de Newton precedió al de Leibniz unos diez años, pero Leibniz hizo sus descubrientos independientemente de los de Newton, además a Leibniz le corresponde la prioridad en su publicación, en las Acta Eruditorum (1684), una revista científica mensual de la época.

G.W. Leibniz (1646-1716) nació en Leipzig, se doctoró en Derecho e ingresó en la carrera diplomática. En 1672 fue a París con la intención de desviar las intenciones conquistadoras de los franceses hacia Alemania, aconseja que Francia dirija una guerra santa contra Egipto. Leibniz tenía en mente una nueva cruzada contra el infiel. Esta vez, sin embargo, el objetivo no sería Jerusalén sino Egipto. La conquista de esa tierra antigua beneficiaría no solo a Francia sino a toda Europa. Traería paz intramuros entre las potencias occidentales y permitiría que los estados cristianos fortalecieran sus defensas contra el musulmán. Sugerencia que más tarde adoptaría Napoleón en 1798.

En París se encontró con Huygens, que le aconsejó que, si deseaba hacerse matemático, leyera los tratados de Blaise Pascal de 1658-1659.

En 1673 una misión política le lleva a Londres, donde compra un ejemplar de Lectiones geometricae de Barrow. Fue esta visita la que generaría dudas sobre si habría conocido los trabajos de Newton, en forma manuscrita, pero en esa época los conocimientos de Leibniz sobre geometría y análisis eran escasos, dificilmente le hubiera sacado provecho.

 máquina calculadora de Leibniz
.
En 1676 Leibniz vuelve a Londres y lleva consigo su máquina calculadora. Leibniz se interesó por la lógica, por lo que significaba en cuanto a formalización del lenguaje y del pensamiento. Leibniz cree que puede crear un lenguaje universal. Concibe la idea de un lenguaje formalizado, combinación de signos, donde lo importante sería la manera de enlazarlos, de modo que una máquina sería capaz de proporcionar todos los teoremas y de manera que todas las controversias formales se pudieran zanjar mediante un simple cálculo.

Sin duda, la prematura muerte de Blaise Pascal, pionero en la comercialización de una máquina similar, la pascalina, y que Leibniz fuera el encargado de gestionar la herencia intelectual de Pascal habrán influido tanto en el desarrollo de la máquina de Leibniz como en el desarrollo del Cálculo diferencial e integral.



Leibniz concentró su atención en la lectura de las obras de Pascal sobre la cicloide y otros aspectos del análisis infinitesimal. Fue al leer Traité des sinus du quart de cercle (Blaise Pascal), en particular al observar el triángulo infinitesimal o característico usado por Pascal en la cuadratura del seno, semejante al utilizado por Barrow en el trazado de tangentes, que Leibniz dice que "se hizo la luz" para él.

Leibniz se da cuenta de que la determinación de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas  estas diferencias; así como las cuadraturas dependen  de la suma de las ordenadas o de los rectángulos infinitamente estrechos que constituyen el área.

Leibniz en 1676 supo que estaba en posesión de un método general que era aplicable a todo tipo de funciones. La grandeza añadida de Leibniz fue que desarrolló un lenguaje y notación adecuados, que resultaron ser especialmente afortunados.

Después de varios ensayos decidió representar por \( dx \), \( dy  \)  las diferencias más pequeñas posibles (o diferenciales) de la \( x  \) y de la \( y \). Para representar la suma de las ordenadas bajo la curva utilizó el símbolo \( \int y       \) , posteriormente usará \( \int y ·dx      \) donde el signo integral es una esbelta s, inicial de la palabra suma.



La primera exposición del Cálculo diferencial de Leibniz ocurrió en octubre de 1684, Nova methodus pro maximis e minimis..., en las Acta Eruditorum.


Dos años más tarde publica De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum, en las Acta Eruditorum 1686, una exposición del Cálculo integral, donde muestra que las cuadraturas son un caso especial del método inverso de las tangentes. Hace hincapié en la importancia de considerar las funciones trascendentes en el nuevo análisis, pues observa que si no las incluyéramos entonces no existirían las integrales de muchas funciones algebraicas. La eficacia de la notación de Leibniz y lo plausible de sus ideas provocaron una tendencia a aceptar mejor la idea de diferencial que la de fluxión de Newton.

Cálculo diferencial deriva de: calculus differentialis (cálculo de tangentes).
Cálculo integral deriva de: calculus summatorius o integralis.


Fuente Historia de la Matemática (Carl B. Boyer)
____________________________


13.10.17

CURVAS de BÉZIER


 Dibujo realizado por Bézier

Las llamadas "curvas de Bézier" deben su nombre a Pierre Etienne Bézier (1910-1999), ingeniero de Renault de 1933 a 1975. Como responsable del departamento "méthodes mécaniques" a principios de la década de los sesenta empieza a preocuparse por la utilización de herramientas informáticas en el diseño de carrocerías. Las herramientas de CAD (Computer Aided Manufacturing) basadas en polígonos no representaban bien las superfícies curvas. Bézier logró un método fácil de usar y a la vez exacto para describir curvas a partir de cuatro puntos. El sistema se lanzó en 1968 y en 1975 ya estaba en pleno uso. Las "curvas de Bézier" han sido un elemento clave para el posterior desarrollo de la informática gráfica vectorial, tanto 3D como 2D.
Antes que Bézier dos matemáticos que trabajaban para Boeing y Citroën (James Ferguson y Paul de Casteljau) llegaron a los mismos resultados. Pero sus hallazgos no fueron conocidos hasta mucho más tarde porque se guardaron bajo secreto industrial. 

Las curvas de Bézier son segmentos de línea conectados entre sí por nodos. Cada segmento lo entendemos como un vector con un punto inicial y un punto final que definen la línea. A estos se añaden "dos puntos de control" que definen la curvatura de la misma. Los puntos de control parten de las tangentes de cada uno de los puntos extremos o nodos. Cuando los cuatro puntos están alineados tenemos una recta. Cuando los puntos de control se separan tenemos algún tipo de línea curva. Esta curva está siempre contenida dentro de un polígono cuadrilátero cuyos vértices son dichos cuatro puntos. La curva se calcula a partir de una interpolación creada por una secuencia de funciones que se basa en las coordenadas de los puntos. Esto hace que sea escalable y se vea bien a cualquier nivel de ampliación.





________________ 

_______________
 
Fuente A Primer on Bézier Curves

13.9.17

Las CÒNICAS de Apolonio de Perga

Apolonio nació a mediados del siglo III a.C. en Perga. Se cree que estudió, o pasó largo tiempo, en Alejandría cuyo Museo y Biblioteca constituían en aquel tiempo el centro del saber occidental.

Apolonio pasó algún tiempo también en Pérgamo y en Éfeso. Parece ser que su período de plenitud tiene lugar durante el reinado de Tolomeo Filopator (222-205 a.C.).

¿Qué se sabía sobre las secciones cónicas antes de Apolonio? Las secciones cónicas se conocían desde hacía más o menos un siglo y medio antes.

Menecmo introduce estas curvas como secciones de un cono circular recto por un plano perpendicular a una generatriz.

La parábola fue llamada sección de cono rectángulo (ortotoma):


La elipse era la sección de cono acutángulo (oxitoma):


Y la hipérbola (solo se consideró una rama de ella) la sección de cono obtusángulo (amblitoma):

A finales del siglo IV existieron dos obras importantes. La primera es de Aristeo, el Libro de los lugares sólidos (aquéllos en los que aparecen las cónicas por intersección de cilindros y conos con planos). La segunda obra de interés fue de Euclides, cuatro libros cuyo contenido debió de ser en sus líneas fundamentales el que se encuentra en los cuatro primeros libros de las Cónicas de Apolonio.

Arquímedes se especializó en propiedades de la parábola. Los importantes resultados de Arquímedes acerca del área del segmento parabólico, aplicando el método de exhaución en la obra Sobre la Cuadratura de la Parábola y el método mecánico en la obra El Método pone de relieve el avanzado desarrollo de la teoría de las secciones cónicas en la época de Arquímedes, ya muy próxima a los tiempos en que Apolonio concibió las Cónicas.

Debido a la perfección de la obra de Apolonio, los tratados que sobre cónicas fueron escritos antes fueron desplazados y olvidados.

 Les coniques de Apollonius de Perge, Paul Ver Eecke, 1923


La obra de las Cónicas de Apolonio fue explicada por él mismo en el Libro I. Le escribe a Eudemo:

"Creo que no habrás olvidado, porque ya te lo he contado antes, que fue a instancias de Naucrates el geómetra, que fue mi huésped durante su estancia en Alejandría, por lo que me introduje en este campo y que, cuando él estaba a punto de embarcarse, me apresuré a ponerle al corriente de lo que yo había ya elaborado, en ocho libros, sin poner demasiado cuidado en su perfección, sino anotando todo lo que se me ocurría, con la intención de hacer una ulterior revisión. Ahora que he tenido la ocasión de establecer las cosas por sus pasos de una manera adecuada, las publico. Y puesto que sucede que algunos de los que han tratado conmigo han recibido los libros primero y segundo antes de que hubiesen sido revisados, no te extrañes de encontrar en ellos cuestiones tratadas de una manera diferente...".

Más tarde, ya en Pérgamo, Apolonio se tomó el tiempo necesario para perfeccionar uno a uno los ocho libros, lo que explica  que los libros del IV al VII comiencen con dedicatorias y agradecimientos al rey Atalo de Pérgamo.

Los cuatro primeros libros son descritos por Apolonio como una introducción elemental y se supone que la mayor parte del material había aparecido publicado en anteriores tratados sobre cónicas. Sin embargo, Apolonio nos dice expresamente que algunos de los teoremas contenidos en el Libro III son suyos propios, ya que Euclides no había dado un tratamiento completo de los lugares geométricos que aparecen en dicho libro. Apolonio afirma que los cuatro últimos libros son extensiones de la materia que van más allá de lo esencial.

   I.  Modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas.
   II. Diámetros, ejes y asíntotas.
   III.  Teoremas notables y nuevos. Propiedades.
   IV.   Número de puntos de intersección de cónicas.
   V. Segmentos de máxima y mínima distancia a las cónicas. Normal, evoluta, centro de curvatura.
   VI. Igualdad y semejanza de secciones cónicas. Problema inverso: dada la cónica, hallar el cono.
   VII. Relaciones métricas sobre diámetros.
   VIII. (Se desconoce su contenido).

Antes de Apolonio, la elipse, la parábola y la hipérbola se obtenían como secciones por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos distintos según que el ángulo en el vértice fuese agudo, recto u obtuso. Apolonio demostró por primera y de una manera sistemática que no es necesario considerar exclusivamente secciones perpendiculares a una generatriz del cono, y que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones cónicas sin más que variar la inclinación del plano que corta al cono; este paso fue importante para unificar los tres tipos de curvas.




Otra generalización importante se llevó a cabo cuando Apolonio demostró que el cono no necesita ser un cono recto, es decir, tal que su eje sea perpendicular al plano de su base circular, sino que puede igualmente tomarse un cono circular oblicuo. Se podría decir que Apolonio fue el primer geómetra que demostró que las propiedades de estas curvas son las mismas, se obtengan como secciones de conos oblicuos o de conos rectos.

Apolonio llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista más moderno al sustituir el cono de una sola hoja por un cono de dos hojas. Este cambio convierte a la hipérbola en la curva de dos ramas tal como la conocemos hoy. Hasta entonces los geómetras solían hablar de "las dos hipérbolas" en vez de "las dos ramas" de una hipérbola única, pero en cualquier caso el carácter dual de la curva fue reconocido claramente a partir de Apolonio.

Durante siglo y medio las cónicas fueron nombradas por el modo en que eran obtenidas: ortotoma, oxitoma, amblitoma. Según parece, Arquímedes utilizaba parábola como sinónimo de ortotoma. Apolonio elegiría los nombres de parábola, elipse, hipérbola, por sugerencia de Arquímedes; estas palabras ya tenían uso entre los pitagóricos para clasificar las soluciones de ecuaciones cuadráticas mediante áreas: ellipsis (deficiencia), hyperbola (avanzar más allá, exceso), parabola (colocar al lado, compararable).

Apolonio aplicaría estas palabras en un contexto nuevo, teniendo en cuenta las propiedades analíticas de las cónicas. Apolonio, a diferencia de los anteriores geómetras griegos, dio un paso importante al prescindir del cono, finalmente, para definir las cónicas. A partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental o "síntoma" de la sección, dando una condición necesaria y suficiente para que un punto esté sobre la curva. Fue a partir de ese momento que Apolonio abandona el cono y procede a estudiar las curvas por métodos planimétricos exclusivamente.

La parábola, referida al vértice, tiene la propiedad característica de que todo punto tomado sobre la curva, el área del cuadrado construido sobre su "ordenada y" es exactamente igual (comparable) al rectángulo construido sobre la "abscisa x" y cuya altura sea un parámetro " \(  l \) "denominado latus rectum: \(  y^{2}= l\cdot x      \)

La elipse, referida a uno de sus vértices, queda descrita por \(  y^{2}< l\cdot x     \) (deficiencia)

La hipérbola, referida a uno de sus vértices, queda descrita por  \(  y^{2} > l\cdot x  \) (exceso)

Los nombres escogidos por Apolonio fueron tan acertados que han quedado firmemente asociados a las cónicas hasta nuestros días.


En el Libro I desarrolla la teoría de los diámetros conjugados en una cónica y utiliza un par de diámetros conjugados como un sistema de coordenadas oblicuas, lo que equivaldría al uso actual de un par de rectas perpendiculares como ejes de coordenadas.

Apolonio demuestra que los puntos medios del conjunto de las cuerdas paralelas a un diámetro, de una elipse o hipérbola, están situados  sobre un segundo diámetro  y denomina a ambos: "diámetros conjugados".

Demostró que si se traza una recta por un extremo de un diámetro, de una elipse o hipérbola, que sea paralela al diámetro conjugado, entonces dicha recta será tangente a la cónica.

En el Libro II continúa el estudio de los diámetros conjugados y las tangentes. Muestra cómo trazar tangentes a una cónica usando la propiedad de la división armónica de un segmento.

Apolonio estaba especialmente orgulloso del Libro III:

" El tercer libro contiene muchos teoremas notables que son útiles para la síntesis de lugares sólidos y la determinación de límites; la mayoría de estos teoremas, y a la vez los más bellos, son nuevos, y cuando los descubrí pude observar que Euclides no había tratado la síntesis de los lugares geométricos con respecto a tres y cuatro rectas, sino solo los casos fáciles, y aún así sin éxito, porque era imposible completar esta síntesis sin contar con mis descubrimientos adicionales."

El lugar geométrico  con respecto a tres y cuatro rectas al que se refiere Apolonio trata de que "dadas tres rectas en un plano, hallar el lugar geométrico de un punto P que se mueve de tal manera que el cuadrado de la distancia de P a una de esas tres rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos; en el caso de cuatro rectas, el  producto de las distancias a dos de ellas  es proporcional al producto de las distancias a las otras dos, el lugar geométrico buscado es una sección cónica, real o imaginaria.

Pappus propondría una generalización de este teorema a n rectas.

Apolonio conocía  bien las propiedades de la hipérbola referida a sus asíntotas tomadas como ejes. En una proposición del libro aparece la hipérbola como lugar geométrico de puntos tales que x·y = constante, siendo x e y abscisa y ordenada respecto a las asíntotas.

El Libro IV trata de cuántas maneras pueden cortarse unas cónicas a otras. Fue en relación con el desarrollo de los teoremas de este libro que Apolonio hace un comentario que nos indica que en su época, lo mismo que hoy, había obtusos adversarios de la matemática que le preguntaban por la utilidad de tales resultados. Apolonio contesta orgulloso:

"Merecen ser aceptados a causa de sus propias demostraciones, de la misma manera que aceptamos muchas otras cuestiones en la matemática por esta misma razón y no por ninguna otra."

El Libro V está dedicado a estudiar segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica. Es el más sorprendente de todos sus libros. Se puede decir que en él Apolonio, 20 siglos antes que Huygens (Horologium Oscillatorium, 1673) introduce ya, a su modo, con instrumentos puramente sintéticos, nociones tales como normal a una curva, evoluta, centro de curvatura, etc,.. y logra obtener estos elementos para las cónicas de la manera más rigurosa.

Consideraciones de Apolonio en el prólogo al Libro V:

"En este libro quinto he expuesto proposiciones relativas a los segmentos de máxima y mínima distancia. Han de saber que mis predecesores y contemporáneos solo superficialmente han tratado la investigación de las líneas de distancia mínima y solamente han probado qué líneas rectas tocan a las secciones cónicas y qué propiedades tienen en virtud de ser tangentes. Por mi parte yo he probado estas propiedades en el Libro I.
Las proposiciones en las que trato los segmentos de distancia mínima las he separado en clases y he tratado cada una con una demostración cuidadosa. También he puesto en conexión estas cuestiones con las relativas a los segmentos de distancia máxima, porque consideraba que los que cultivan esta ciencia las necesitan a fin de obtener un conocimiento del análisis y discusión de los problemas así como de su síntesis. Por otra parte, esta materia es una de esas que parecen dignas de estudio por sí mismas."

Lo que en su día fue una bella teoría sin ninguna posibilidad de ser aplicada a la ciencia o tecnología de la época, ha llegado a ser un instrumento teórico fundamental en campos tales como la dinámica terrestre o la mecánica celeste.

Apolonio no estaba satisfecho con la definición de recta tangente a una curva por un punto P, los matemáticos griegos aceptaban que "era la recta que solo compartía el punto P con dicha curva"; por lo que evita definir la normal a una curva C por un punto Q como la recta que pasa por Q y es perpendicular a la recta tangente por el punto P. Apolonio opta por definir la normal basándose en la propiedad de que la distancia de Q a la curva C sea mínima o máxima medida sobre la normal. Así que la recta tangente sería la perpendicular a la normal.

En este libro Apolonio desarrolla el tema de las normales a una cónica hasta un punto tal que llega a dar criterios que le permiten decir cuántas normales se pueden trazar, desde un punto dado,  a una sección cónica. Estos criterios serían equivalentes a lo que hoy entendemos como evolutas de las cónicas (lugar geométrico de los centros de curvatura).

En la dedicatoria que hace de las Cónicas al rey Atalo de Pérgamo, en el Libro VI leemos:
"Dedicado a estudiar las proposiciones relativas a los segmentos de cónicas iguales y desiguales, semejantes y desemejantes, junto con algunas otras materias que no fueron tratadas por los que me precedieron. En particular, se encontrará en este libro cómo se puede obtener una sección de un cono recto igual a una sección cónica dada"
El Libro VII  retoma el tema de los diámetros conjugados y contiene muchas proposiciones nuevas relativas a los diámetros de las secciones cónicas y a las figuras construidas sobre ellos.

Destaca especialmente esta proposición:
"En toda elipse la suma, y en toda hipérbola la diferencia de los cuadrados construidos sobre dos diámetros conjugados cualesquiera es igual a la suma, o diferencia, respectivamente, de los cuadrados construidos sobre los ejes."

Sobre el Libro VIII, perdido, se ha formulado la conjetura  de que continuaría con el estudio de lo desarrollado en el Libro VII, esto se debe a que el propio Apolonio en la introducción del Libro VII afirma que los teoremas de ese libro van a ser utilizados en el Libro VIII para resolver determinados problemas sobre cónicas.

Las Cónicas de Apolonio constituyen un tratado de una amplitud y profundidad tan extraordinarias que sorprende notar que no aparezcan propiedades que a nosotros nos parecen fundamentales. Hoy los focos juegan un papel importante, sin embargo Apolonio ni siquiera les da nombres especiales a estos puntos y se refiere a ellos solo de manera indirecta. Se supone que estaba familiarizado con las propiedades de las cónicas referidas al foco y a la directriz, pero nada de esto se menciona en las Cónicas. Aunque el foco de la parábola aparece de manera implícita en muchos teoremas de Apolonio, no está claro que fuera consciente del papel de la directriz, tan evidente en la actualidad.
Apolonio sabía cómo determinar la cónica que pasa por cinco puntos pero está totalmente ausente de las Cónicas. Es posible que estas omisiones se deban al hecho de que fueran tratadas en otras obras que se han perdido.

Los métodos que utiliza Apolonio en las Cónicas son tan semejantes en muchos aspectos al planteamiento analítico moderno que su obra se ha considerado a menudo como una anticipación de la geometría analítica de Descartes en 1800 años. El uso de unas rectas de referencia en general y de un diámetro y una tangente en uno de sus extremos en particular, no difiere esencialmente del uso de un sistema de coordenadas rectangular u oblicuo. Las distancias medidas a lo largo del diámetro a partir de un punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente, interceptada por el diámetro y la curva, son las ordenadas. Las relaciones que expresa Apolonio entre estas abscisas y las ordenadas no son otra cosa que formas retóricas de las ecuaciones analíticas de las curvas.


La influencia de Apolonio en los geómetras griegos y árabes fue muy profunda. No en vano Apolonio fue llamado el Geómetra de la Antigüedad.

La obra de Apolonio comienza a filtrarse hacia Occidente lentamente a través de la matemática árabe.

Witelo, monje polaco establecido en Italia, escribe en 1260 un tratado de óptica, que en el fondo es un comentario al tratado de óptica del árabe Al-Hazen, que residió en la península ibérica en el siglo XI, y en el que se contienen diversas proposiciones geométricas de Apolonio.

De las Cónicas de Apolonio solo se conserva, en el original griego, los cuatro primeros de los ocho libros, y por suerte el matemático árabe Thabit ibn Qurra tradujo los tres libros siguientes al árabe antes de que desapareciera su versión griega.

El primer texto griego de las Cónicas que aparece en Occidente es el que Francisco Filelfo se trajo de Constantinopla a Venecia en 1427.

La primera versión al latín de los cuatro primeros libros de las Cónicas fue realizada por el matemático Juan Bautista Memo, en Venecia. Su sobrino Juan Maria Memo editó la obra en 1537.

En 1566, en Bolonia, Federico Commandino publica una segunda traducción de los cuatro primeros libros, basada en los textos griegos.

A partir de 1629 comienzan a conocerse en Occidente los primeros manuscritos árabes de la obra de Apolonio a través de Jacobus Golius, profesor de lenguas orientales en Leyden. El Padre Mersenne se hace eco de ello en una obra en 1644. Golius no llevó a cabo su proyecto, su colección se dispersó después de su muerte.

En 1655 aparece publicado, lo que constituía el ejercicio de moda en ese tiempo, la reconstrucción conjetural de obras perdidas de los clásicos. El Padre Claudio Richard publica en Amberes un comentario de los cuatro primeros libros sobre las Cónicas de Apolonio, basado en los textos de Memo y Commandino, seguido de otros cuatro libros que pretendían reconstruir el contenido de los cuatro libros de Apolonio desconocidos entonces en Occidente.

Mientras el geómetra Vincenzo Viviani en 1658 se ocupaba de reconstruir conjeturalmente el contenido de los cuatro libros desconocidos de Apolonio, otro geómetra italiano, Giovanni Alfonso Borelli, encontró en la biblioteca de los Médicis, en Florencia, un manuscrito árabe, probablemente de la colección de Golius, que contenía los libros V, VI y VII de las Cónicas, una versión resumida y más o menos retocada por el matemático persa Abalphat de Ispahan, en 994. Borelli hizo traducir el libro de Abalphat al latín y lo publicó con numerosos comentarios en Florencia, en 1661.

La primera versión completa en árabe de los libros V, VI, VII, aparece publicada en Occidente al comienzo del siglo XVII en Irlanda, en un manuscrito que los herederos de Jacobus Golius habían vendido al obispo de Armagh. Se trataba de la traducción del griego al árabe realizada en el siglo IX por Thabit ibn Qurra, en Bagdad.

En 1675 Isaac Barrow publicó en Londres un manual de geometría en el que condensaba los cuatro primeros libros de Apolonio, además de otras obras de Arquímedes y de Teodosio.

En 1704 Edmund Halley sustituyó a James Gregory como profesor de geometría en Oxford. Gregory había traducido los Elementos de Euclides y en 1703 los había publicado en latín y griego. Gregory y Halley se habían propuesto traducir y publicar los siete libros de las Cónicas de Apolonio. Con tal fin Halley decidió aprender árabe. Muerto Gregory, Halley emprende en solitario la conclusión de la publicación de los siete libros conservados de las Cónicas y en 1710 aparece la obra. Se compone de tres partes. La primera contiene el texto griego de los cuatro primeros libros, junto con la versión latina de Commandino. La segunda parte comprende la traducción latina de los libros V, VI, VII, basada en la versión árabe de Thabit ibn Qurra y una reconstrucción conjetural del libro VIII hecha por Halley. La tercera parte contenía el texto griego y una versión latina de los dos libros de Serenus Antinsensis sobre la sección del cilindro y del cono.

La única traducción completa de las Cónicas (francés), fue publicada en Brujas en 1923, realizada por Paul Ver Eecke. La versión está precedida por un extenso comentario sobre lo que acerca de Apolonio se conoce hoy día, así como sobre el rastro de su obra a lo largo de la historia.

Les coniques de Apollonius de Perge, Paul Ver Eecke, 1923

___________________________________________________________________________________

ALBERTO DURERO ( 1471-1528)
  Eierlinie (línea de huevo) de Durero. La Geometría de Alberto Durero

El pintor Alberto Durero expuso en un Tratado, un método original para trazar secciones cónicas. En vez de investigar las propiedades matemáticas de la parábola, la hipérbola y la elipse, Durero intentó construirlas igual que había intentado construir espirales y epicicloides; y lo logró mediante
la ingeniosa aplicación de un método conocido por todo arquitecto, pero que hasta entonces no se había aplicado nunca a la solución de un problema puramente matemático, y menos aún al problema de las secciones cónicas: el método de la proyección paralela.

Debido a que Durero no contaba con expresiones en alemán para referirse a las secciones cónicas ideó sus propios nombres, a la elipse la denominó Eierlinie (línea de huevo), a la parábola Brennlinie (línea de incandescencia) y la hipérbola sería  Gabellinie (línea en horca).



Esferas de Dandelin (Geogebra) 

Dandelin demostró geométricamente mediante esferas inscritas en el cono, las principales propiedades de las secciones cónicas.

El foco (focos) de la cónica queda determinado por el punto de tangencia de la cónica con la esfera; además la directriz (directrices) resulta de la intersección del plano de la sección cónica con el plano que pasa por los puntos de contacto de la esfera con el cono.





 __________________________________________
Fuentes

APOLONIO ( Miguel de Guzmán)

Apolonio, el Geómetra de la Antigüedad

Las cónicas y sus aplicaciones  

Historia de la Matemática (Carl B. Boyer)

Viaje a través de los genios (William Dunham)

El legado de las matemáticas: de Euclides a Newton

 

9.5.17

James Clerk Maxwell, electricidad, magnetismo y la velocidad de la luz



 Ley de Gravitación Universal de Newton:

\(     F_{g}= G\cdot \dfrac{M_{1}\cdot M_{2}}{r^{2}}   \)

siendo G constante de gravitación universal, hallada de manera implícita en 1798 por Henry Cavendish, a través de su experimento de la balanza de torsión.

http://laplace.us.es/wiki/images/4/48/Campo-dipolo-electrico.png

Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) describe matemáticamente la Ley de atracción entre cargas eléctricas:  

\(     F_{e}= K_{e}\cdot \dfrac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{r^{2}}   \)

siendo \(   K_{e}=9\cdot 10^{9}\ \dfrac{N m^{2}}{C^2} \) constante relacionada con la permitividad del vacío, \(\varepsilon_0\).

Así se obtuvo que la electricidad obedecía a una ley semejante a la de ley de la gravitación universal de Newton.

https://fuches.files.wordpress.com/2009/02/campo_magnetico.jpg

Ley de atracción entre polos magnéticos:

 \(     F_{m}= K_{m}\cdot \dfrac{P_{1}\cdot P_{2}}{r^{2}}   \)

siendo  \(   K_{m}=1\cdot 10^{-7}\ \dfrac{N s^{2}}{C^2} \) constante relacionada con la permeabilidad magnética del vacío, \(  \mu _0 \).

El descubrimiento en 1820 del nexo entre electricidad y magnetismo se lo debemos a Hans Christian Ørsted (1777-1851). Pero será James Clerk Maxwell (1831-1879) quien comprenda la trascendencia de ese nexo. Maxwell  observa la dualidad de las expresiones matemáticas e intuye que ambas constantes, \(   K_{e}\) y \(   K_{m}\) deben de estar relacionadas, en efecto, el cociente de ambas ofrece un resultado sorprendente: 

\(     \dfrac{K_{e}}{K_{m}} = 9 \cdot 10^{16} \dfrac{m^2}{s^2}= (3  \cdot 10^{8})^2 \ (  \dfrac{m}{s})^2 \)


En 1850 Jean Léon Foucault midió la velocidad de la luz:  \(     c= 298.000\ km/s \approx 3\cdot 10^{8} \ m/s   \). Por lo que Maxwell concluye que el cociente de ambas constantes,  \(   K_{e}\) y \(   K_{m}\),  es el cuadrado de la velocidad de la luz.

\(  c^2 =   \dfrac{K_{e}}{K_{m}} = \dfrac{1}{\mu_0\,\varepsilon_0}    \)

Antes que Maxwell, los físicos alemanes, Wilhelm Eduard Weber y Rudolph Kohlsrauch, habrían obtenido ese sorprendente resultado, sin otorgarle la importancia que finalmente tuvo este hallazgo.  

Pero fue Maxwell quien comprendió que los campos eléctrico y magnético se crean mutuamente cuando se mueven juntos dando lugar a una onda que se desplaza a la velocidad de la luz (\(c\)). Es decir, llegó a la conclusión de que la luz es una onda electromagnética.

http://static.cice.es/wp-content/uploads/2013/11/comportamiento-fisico-luz.jpg

El descubrimiento de Maxwell, en aquel momento puramente teórico, llevaría a que las imágenes y sonidos del siglo XX se irradiasen a través del espacio, no solo en forma de luz visible sino también como ondas radiofónicas, microondas y ondas de todo el espectro electromagnético.

Primera ecuación de Maxwell

Segunda ecuación de Maxwell

Tercera ecuación de Maxwell

Cuarta ecuación de Maxwell 

Ecuaciones de Maxwell

_____________________

 Gravedad, electricidad y magnetismo. Medición de las constantes eléctrica y magnética. El Universo Mecánico
  ______________________

Las Ecuaciones de Maxwell. El Universo Mecánico

_________________________________________
En 1926 Albert Michelson midió con precisión el tiempo que la luz tardaba en recorrer la distancia entre dos picos de montaña, en Los Angeles, y obtuvo que:

\(     c= 299.796±4\ km/s \approx 3\cdot 10^{8} \ m/s   \)

_________________________________________

La serie documental El Universo Mecánico [The Mechanical Universe] consta de 52 capítulos, "lecciones magistrales" impartidas por David Goodstein en 1985 [California Institute of Technology].

Una exposición amena y 'divertida' de los fundamentos de la Física contextualizados históricamente. Se complementa con la ayuda de animaciones y experimentos. Duración aproximada de cada 'lección magistral' 30 minutos.


_______________________________________