12.9.19

Demostración Teorema de Pitágoras según Euclides

Una tradición muy persistente, que toma como base documental a Plutarco, Vitrubio, Ateneo, Diógenes  Laercio  y  Proclo,  atribuye  el Teorema  de  Pitágoras  al  propio  Pitágoras.
La tablilla babilónica Plimpton 322 presenta cuatro columnas (separadas por tres hendiduras) y 15 filas de números cuneiformes, pero seguramente tuvo más porque está fragmentada. UNSW/ Andrew Kelly 
Tablilla Plimpton 322, que se conserva en la Biblioteca de Manuscritos y Libros Raros de la Universidad de Columbia, Nueva York. 

Pero  el examen arqueológico realizado de las tablillas de arcilla encontradas en Mesopotamia, pertenecientes a las civilizaciones que se desarrollaron entre los ríos Tigris y Éufrates en el segundo milenio antes de J.C., ha revelado que los antiguos babilonios conocían aspectos del teorema, ternas pitagóricas, más de mil años antes que el propio Pitágoras. Algo similar se puede afirmar respecto de las culturas que aparecieron a lo largo del río Nilo, así como de la antigua civilización hindú y de las antiguas culturas chinas que surgieron en las cuencas de los ríos Yangtze y Amarillo.
Pero parece ser que no lo conocían ni las grandes civilizaciones precolombinas de América ni tampoco las del continente africano, exceptuando la egipcia. EL TEOREMA LLAMADO DE PITÁGORAS, UNA HISTORIA DE 4.000 AÑOS

Euclides plantea una demostración del Teorema de Pitágoras en la proposición 47, y demuestra el recíproco en la proposición 48 del Libro I de los ELEMENTOS (EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY)

P.47.- "En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es equivalente a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto"
P.48.- "Si el cuadrado de uno de los lados de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes del triángulo, entonces el ángulo contenido por esos dos lados restantes es un ángulo recto.

Es decir, en todo triángulo rectángulo ABC, siendo A el ángulo de 90º, se verifica que:

\(  a^{2}= b^{2}+c^{2}      \)

Y recíprocamente, si se verifica  \(  a^{2}= b^{2}+c^{2} \) entonces A será un ángulo recto.

Parece que Euclides está ansioso por situar el Teorema  de  Pitágoras  en  los Elementos en el libro I, de la manera más rápida y  directa,  ante  la imperiosa  necesidad  de utilizarlo después con asiduidad; pero ante  la  imposibilidad  de  aplicar  de  forma tan temprana la Teoría de la Proporción de Eudoxo (que desarrollará en los Libros V y VI de los Elementos), realiza una sublime y sencilla demostración.

Fuente imagen  

DEMOSTRACIÓN (Proposición 47):

Los triángulos DBC y ABJ son iguales, ya que comparten el ángulo B y los lados DB = BA, BC = BJ

Es decir, que ambos tienen igual área.

Por otro lado, área del triángulo  DBC es la mitad del producto de su base por su altura, la mitad de: \(  DB\cdot DE= c^{2} \)

Y análogamente, el área del triángulo ABJ será la mitad de: \( BJ \cdot BK \), que tiene igual área que DBC, resultando que  \( BJ \cdot BK = DB\cdot DE= c^{2} \)

Observando la figura podemos deducir fácilmente que el área del rectángulo \( BKIJ= BJ \cdot BK = c^{2}\) .

Lo que demuestra que él area de BKIJ coincide con el área del cuadrado de lado c.

De manera análoga se comprobaría que el área de KCHI coincide con el área del cuadrado de lado b.

Y finalmente, tendremos en cuenta que el área de BCHJ es, trivialmente, la suma de las áreas de  KCHI y  BKIJ, o lo que es lo mismo:

\( [BCHJ]= a^{2}= [KCHI]+ [BKIJ]= b^{2}+c^{2} \)


Y recíprocamente ...



DEMOSTRACIÓN (Proposición 48):

Sea un triángulo ABC que verifica  \(  a^{2}= b^{2}+c^{2}  \) y desconocemos si el ángulo A es recto:

 

Construyamos un triángulo ACD de manera que AD = AB y el ángulo DAC sea recto. Verifica por tanto el Teorema de Pitágoras: 

\(  [DA]^{2}+[AC]^{2}= [DC]^{2}  \) 

\(  c^{2}+b^{2}= [DC]^{2}  \) 

como \(  a^{2}= b^{2}+c^{2}  \)

deducimos que  \(  a^{2}=  [DC]^{2}  \), lo que significa que \(  a =  DC \)

Y por tanto ambos triángulos tienen los tres lados iguales, y comparten el lado AC, así que los ángulos DAC y CAB deben ser iguales, esto es, el ángulo A es recto.





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Otras demostraciones de teorema  http://enciclopedia.us.es/index.php/Teorema_de_Pitágoras

Euclides 3.0

Teorema de Pitágoras (Matemáticas visuales)

Euclid's Elements

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30.12.18

Años Bisiestos no bisiestos...


Los astrónomos han observado que entre dos equinoccios de primavera hay 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos, o sea: 365, 242199 días.

Sosígenes de Alejandría había medido el año, en el siglo I a. C., en 365,25 días con un error de 11 minutos y 14 segundos.

Julio César
.
Julio César, a mediados del siglo I a. C., introdujo el calendario juliano que pondría remedio a los años de 365 días.

Tras tres años de 365 días habría un año bisiesto con 366 días. Esto dejó la duración media de un año en 365,25 días, durante los 1500 años posteriores a la implantación del año juliano.

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Origen de los nombres de los meses del AÑO
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A finales del siglo XVI los dirigentes de la Iglesia Católica ya no estaban dispuestos a pasar por alto el error de añadir  11 minutos y 14 segundos  anualmente. Los consejeros del Vaticano, Luigi Lilio y Christopher Clavius, calcularon que, tras mil años, se sumarían 8 días. Por tanto, en unos "escasos" 12 mil años: la Navidad caería en otoño y la Semana Santa en pleno invierno.

Dado que a la Iglesia le gusta pensar a largo plazo, esas imprecisiones resultaban inaceptables.

El Papa Gregorio XIII meditó seriamente sobre el tema y concluyó que el año juliano era demasiado largo...

Papa Gregorio XIII
.
Para compensar la inexactitud, el Papa decidió ajustar el calendario saltándose algunos años bisiestos. Cada 25 años bisiestos el día extra añadido por Julio César sería cancelado.

El mes de febrero (que era el duodécimo mes del año tras ser añadidos dos meses al año de 10 meses romano) fue el candidato natural a incorporar o no, el día extra.

Fuente imagen  meses del año
 .
Y así, el mes de febrero del último  año de cada siglo, es decir el año divisible por 100, solo tendría 28 días aunque fuera bisiesto. Los años bisiestos a los que se les eliminó el día extra son ahora años bisiestos no bisiestos. Por tanto, cada siglo tendría 75 años de 365 días, 24 años bisiestos de 366 días y 1 año bisiesto no bisiesto con 365 días.

Sin embargo no se solucionó el problema porque ahora se quedaba corto, por poco, pero corto. Se requería una nueva adaptación. El Papa y sus consejeros hincaron los codos de nuevo y tuvieron una genial idea...recuperar el año bisiesto cada cuarto bisiesto no bisiesto!!!. Así se cerraría el círculo, y los años divisibles por 400 se convirtieron en bisiestos no bisiestos bisiestos!!!

Dado que el año 1600 estaba a la vuelta de la esquina, se declaró que ese sería el primer año bisiesto no bisiesto bisiesto. El siguiente sería el año 2000.

Años bisiestos no bisiestos: 1700, 1800, 1900, 2100,...

Años bisiestos no bisiestos bisiestos: 1600, 2000, 2400,...

Ahora la duración media de un año era de exactamente 365,2425 días.

Pero como ya habréis imaginado resultaba un pelín largo el año. A estas alturas el Papa Gregorio estaba harto. La Iglesia aceptaba la inexactitud de 26 segundos al año, que provocaría tener un día extra cada 3322 años.


Llegados a este punto se habían solucionado las imprecisiones futuras...pero aún quedaba resolver las del pasado calendario juliano. El Papa Gregorio lo resolvió de un plumazo, un golpe de ingenio, en 1582 simplemente borró 10 días del calendario. Así que al jueves 4 de octubre de 1582 le siguió el viernes 15 de octubre de 1582. Y de paso demostró al mundo quién era el verdadero jefe sobre la faz de la Tierra...


Clavius, Christoph, Romani Calendarii A Gregorio XIII. P. M. restitvti explicatio S. D. N. Clementis VIII. P. M. Ivssv edita : accesit confutatio eorum, qui Calendarium aliter instaurandum esse contenderunt, 1603

Pero los países no católicos no tenían ninguna intención de seguir los dictados del Papa.

La vigencia de dos calendarios dio lugar a situaciones singulares. El rey Guillermo III de Inglaterra zarpó el 11 de noviembre de 1688 desde los Países Bajos, para tocar puerto en Brixham el 5 de noviembre, puesto que Gran Bretaña y su imperio no adoptaron la reforma del calendario hasta el 2 de septiembre de 1752 (tuvieron que eliminar 11 días).

En Alaska el cambio entró en vigor el 6 de octubre de 1867, cuando el territorio fue adquirido por Estados Unidos a Rusia. En este último país aún regía el calendario juliano; de hecho, la Revolución de octubre de 1917 se produjo en noviembre!! para los países occidentales, ya que Rusia no cambiaría de sistema hasta el 31 de enero de 1918 (eliminaría 13 días).


Revolución de octubre de 1917 (Lenin)

Hasta 1923 era frecuente que los documentos reflejaran dos fechas diferentes.

Hoy el calendario gregoriano rige en la mayor parte del mundo, aunque las iglesias cristianas ortodoxas continúan fieles al calendario juliano.

Aún no está el tema resuelto. Ni sabemos cómo acabará. Cuatrocientos años después amenaza con venirse abajo el sistema del calendario gregoriano...

La ciencia ha progresado, los relojes atómicos pueden medir el tiempo con una precisión tal que se produciría un error de un segundo cada 15 mil millones de años. Con medidas del tiempo tan espectacularmente precisas, un exceso de 26 segundos anuales se hace de nuevo intolerable. George Szpiro propone un ajuste más, eliminar el día extra de febrero cada octavo año bisiesto no bisiesto bisiesto, de manera que cada 3200 años, el mes de febrero tendría de nuevo 28 días; sería el último ajuste, y esos años serían bisiestos no bisiestos bisiestos no bisiestos... El año duraría una media de 365,242188 días. El primer año de este tipo sería el 4400.

Con este hipotético nuevo ajuste, la duración media del año sería ahora un segundo más corta, que se convertiría en un día, después de 86400 años. Es una imprecisión que hasta los religiosos y matemáticos más puntillosos podrían soportar.


Fuente texto: La vida secreta de los números (autor George Szpiro)

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9.11.18

MUSE: ALGORITHM [Simulation Theory]


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Starring Terry Crews
Directed by Lance Drake and Tom Teller

__________Lyrics_________
Burn like a slave

Churn like a cog
We are caged in simulations
Algorithms evolve
Push us aside and render us obsolete

This means war with your creator

Reload
Crash out

This means war with your creator
This means war with your creator

MUSE: "SIMULATION THEORY" Album 8  
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algorithm



3.11.18

PRINCIPIA: La extraordinaria Liga de la Ciencia

https://principia.io


La extraordinaria liga de la ciencia es un álbum de cromos, una novedosa forma de hacer divulgación de la ciencia, un homenaje a mujeres que no fueron reconocidas en su momento, un tributo a aquellos científicos que merecen ser recordados por sus contribuciones.

156 de las científicas y científicos más poderosos, formando 12 intrépidos equipos que demuestran su valor y aportaciones a la disciplina a la que pertenecen.


Pioneras: Hipatia, Cecilia Payne, Ada Lovelace, Emmy Noether, Gerty Cori, Maria Elena Maseras, Valentina Tereshkova...

Física: Marie Curie, Albert Einstein,...

Ciencia española: Margarita Salas, Alicia Calderón,...

Inventos: Nikola Tesla, Ángela Ruiz Robles,...

Biología: Charles Darwin, Rachel Carson,...

Química: Antoine Lavoisier, Dorothy Crowfoot-Hodgkin,...

Matemáticas: Descartes, Maryam Mirzakhani,...

Geología: Charles Lyell,  Mary Anning,...

Biomedicina: Rita Levi-Montalcini, Ramón y Cajal,...

Tecnología: Alan Turing, Grace Hopper,...

Astronomía: Williamina Fleming, Subrahmanyan Chandrasekhar,...

Ciencia actual: Françoise Barré-Sinoussi, Andrew Wiles,...

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RELACIONADO





Chronological Index of Women Mathematician:


HYPATIA

28.10.18

El Hombre que conocía el Infinito: Srinivasa Ramanujan


Biografía de Srinivasa Ramanujan, un matemático que después de crecer en la pobreza en Madras, India, es admitido en la Universidad de Cambridge durante la Primera Guerra Mundial, donde se convierte en un pionero en teorías matemáticas.

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Srinivasa Ramanujan ( documental )

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Life and Work S. Ramanujan

Trabajos y Teorías matemáticas desarrolladas por Ramanujan:

Some Properties of Bernoulli's Numbers (1911)

Note on a set of simultaneous equations (1912)

 Irregular Numbers (1913)

Squaring the circle (1913)

Modular Equations and Approximations to Pi (1914)

On the integral arctan (t)/t  (1915)

On the Number of Divisors  of a Number (1915)

On the sum of the square roots of the first n Natural numbers (1915)

On the product (...) anf Gamma function (1915)

Une formule asymptotique pour Ie nombre des partitions de n (1917)

Asymptotic formulae in Combinatory Analysis (1917)

On the coefficients in the expansions of certain modular functions (1918)
Some Definite Integrals(1919)

A proof  of Bertrand's Postulate (1919)

A class of Definite Integrals (1920)

The discovery of the `Lost' Notebook of Ramanujan by Prof. George E. Andrews, in the spring of 1976, in the estate of late Prof. G.N. Watson, contributed to a resurgence of interest in the life and work of Ramanujan. This `Lost' Notebook contained some 600 theorems on what Ramanujan called as `mock' theta functions. These are results he noted on about 100 loose sheets of paper, during the last year of his life, after his return to India, in March 1919. Prof. Berndt and Prof. Andrews are at present editing this `Lost' Notebook.

Ramanujan’s Lost Notebook Part I     (Partial, Google books)

Ramanujan’s Lost Notebook Part II   (Partial, Google books)

Ramanujan’s Lost Notebook Part III  (full)

Ramanujan’s Lost Notebook Part IV (full)

Ramanujan’s Lost Notebook Part VI (full)










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