En todo poliedro convexo, el número de caras (C) más el número de vértices (V) es igual al número de aristas (A) más 2.
C+V = A +2
Demostración:
Probaremos, inicialmente, que en una superficie poliédrica convexa (poliedro convexo abierto) se verifica que C+V=A+1. Lo haremos por inducción sobre el número de caras de la superficie poliédrica.
Si C=1, supongamos que dicha cara tiene m aristas y por tanto m vértices.
Es trivial que C+V=A+1, o lo que es lo mismo que: 1+m = m+1
Consideremos la hipótesis de inducción:
En una superficie poliédrica de C caras se verifica que C+V=A+1 (*)
Comprobemos que dicha afirmación es verdadera, también, cuando la superficie posee C+1 caras.
La nueva cara compartirá "q" aristas y "q+1" vértices con el contorno exterior de la superficie poliédrica original. Es decir, la nueva cara aporta al nuevo contorno, "m-q" aristas y "m - (q+1)" vértices.
Por tanto, la superficie poliédrica nueva tiene:
C' = C+1 caras
V' = V+ (m - (q+1) ) vértices
A' = A+ (m-q) aristas
C' + V' = C + 1+ V + m - q -1 = C+V + m - q
Por hipótesis de inducción (*) : C+V=A+1
Lo que confirma que C'+V' = A+1 + m -q = 1 + A+ m - q = 1 + A'
Es decir: C' = 1+ A' - V'
Supongamos que añadimos la última cara que convertirá la superficie de C' caras en un poliedro, es decir, el poliedro seguirá teniendo el mismo número de vértices (V'' = V') y de aristas ( A''=A') que la superficie poliédrica, solo añade la cara que lo cierra: C'' = C' +1
Entonces: C'+1= (1+A' -V') +1 = A' -V' +2
O lo que es lo mismo: C'' = A'' - V'' +2, que demuestra el teorema de Euler: C'' + V'' = A'' +2
👉 Leonhard Euler nace a inicios del siglo XVIII, 4300 años después de que se empiece a pensar en geometría y poco más de 1700 años después de que Platón empiece con el estudio de los poliedros regulares (los que se conocen como sólidos platónicos). Un siglo antes de ser planteada la relación para poliedros convexos, presentada por Euler, Descartes había encontrado una fórmula equivalente, que no tuvo el mismo impacto.
"... aunque ya había encontrado muchas propiedades comunes a los poliedros que son análogas a las propiedades que comparten todos los polígonos, no sin gran sorpresa descubrí que las más importantes de esas propiedades eran tan recónditas que todo el tiempo y esfuerzo que invertí buscando una prueba de ellas había sido, hasta ahora, en vano..." (Leonard Euler, 1752)Al parecer Euler no estaba al tanto de la fórmula de Descartes, pero la re-descubrió y se dio cuenta de que una fórmula llevaba a la otra. [ La relación de Euler, una conexión entre la Topología y la Geometría (Andrés Camilo Bello/Cristian Andrey Peña) ]
Nota: Dedicado a Nemo
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