18.9.18

La Música y las Matemáticas



Fueron los filósofos de la Escuela pitagórica (siglos VI- V a.C.) los que pusieron las bases de nuestra música actual. Los  fundamentos  matemáticos  de  la  música,  estudiados  y  enunciados  por  los pitagóricos, constituyeron la base de todos los manuales de música que se elaboraron posteriormente. Entre estos manuales, uno de los más importantes es De  institutione  música escrito por Boecio en el siglo VI d.C. Boecio desarrolló y extendió los  principios enunciados  por  los pensadores pitagóricos. Este texto fue la base de toda la teoría musical elaborada durante el Medioevo en el Occidente cristiano. Boecio consideraba que la música era una de las ciencias que permitía al hombre alcanzar la sabiduría. Por ese motivo denominó quadrivium o cuádruple  vía  hacia  la  sabiduría, al  conjunto  de  las  cuatro  ciencias matemáticas: música, aritmética, geometría y astronomía.

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Escuela pitagórica y la Música  (Donald en el País de las Matemáticas)
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El principio que relaciona la longitud de una cuerda vibrante con las notas de la escala musical era bien conocido en Mesopotamia y Grecia. Los pensadores de la Escuela Pitagórica habrían empleado un monocordio, una cuerda tensada sobre la cual se desliza un puente móvil,  para realizar sus experiencias. Al pulsar una cuerda tensada se obtiene un sonido, el sonido obtenido dependerá de la longitud de la cuerda. 

Imaginemos una cuerda de 1 unidad de longitud, tensada por sus extremos. Al vibrar libremente se obtenía un sonido que, por comodidad, nombraremos: Do, como lo hacemos en la actualidad. Si realizaban el experimento con una cuerda el doble de larga, 2 unidades de longitud, los pitagóricos observaron que era, DO, la misma nota musical, pero más alta. Tras realizar múltiples experimentos, y obtener lo que entendieron como las 7+1 notas musicales que representaban sonidos que resultaban más "agradables" al oído humano, dispusieron de la escala musical (usaremos por comodidad los nombres actuales): Do Re Mi Fa Sol La Si DO. 

Las ocho notas musicales de la escala conforman la "octava", y por tanto DO sería "una octava más alta que Do". Además corroboraron, que dicha escala corresponde a la proporción matemática 1/2 (Do/DO).

Los pitagóricos comenzaron definiendo una escala de cuatro notas, intercalando dos notas entre Do-DO.

Fuente información y grafismos Pitágoras, las matemáticas y la música (Enrique Alexandre)
- Sol sería 3/2 de Do (quinta o diapente).

- Fa sería 4/3 de DO (cuarta o diatesarón).

Aún faltaban cuatro notas musicales. Pensaron que como Sol era la "quinta de Do", podían seguir este procedimiento y calcular la "quinta de Sol", multiplicando por 3/2, obteniendo así 9/4, que por exceder de 2 (DO), la redujeron a la misma nota musical pero en la octava inferior simplemente multiplicando por 1/2 (recordemos que Do/DO = 1/2).

Así nace la nota musical  Re que sería 9/8 de Do.

Animados, calcularon la "quinta de Re". Así que, de manera análoga, obtienen multiplicando por 3/2, la fracción 27/16 que representa a La.



Siguiendo con el cálculo de la quinta de la nota anterior, 3/2 de 27/16, obtenemos 81/32, que excede de 2, así que para reducirla a la misma nota de la octava inferior multiplicaron por 1/2, obteniendo 81/64 que representa a Mi.


Volvemos a aplicar el mismo método a Mi. Obtenemos 3/2 de 81/64 = 243/128, fracción que representa a Si.

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Las ocho notas de la octava se encuentran separadas entre sí por intervalos de tono o de semitono. El valor del intervalo de tono es 9/8 =  Re/Do. Sin embargo, y a pesar de su nombre, el intervalo de semitono no equivale, desde el punto de vista matemático, a la mitad de un intervalo de tono, puesto que un semitono está definido por la fracción 256/243 = Fa/Mi = (4/3)/(81/64)
           
Los filósofos de la Antigua Grecia conocían muy bien los intervalos musicales más pequeños  que  el  tono.  Según  relata  Boecio,  Filolao habría  definido matemáticamente varios de estos intervalos. Del mismo modo, en el Timeo de Platón (siglo  IV  a.C.)  se  encuentran  enumerados,  además  de  los  intervalos  de  cuarta  y  de quinta, los que corresponden al tono y semitono.

La  octava está  compuesta  por   cinco  tonos  y  dos  semitonos,  distribuidos  de  la siguiente manera:

donde Do-Re representa un tono y Mi-Fa representa un semitono.

La distribución de tonos y semitonos es  simétrica respecto de la nota Re. Es decir que la distribución de tonos y de semitonos es similar tanto si se asciende como si se desciende en la escala musical, tomando como punto de partida a la nota Re:


Por este motivo, durante la Edad Media, los clérigos componían sus piezas religiosas partiendo de esta nota, Re.

Hasta aquí llegaron los pitagóricos, quienes también comprobaron que su teoría cumplía propiedades maravillosas que reafirmaron que estaban creando las notas perfectas. 

Arquitas de Tarento (siglo V a.C.) expresaba que “...en la música existen tres medias: la primera es la media aritmética; la segunda es la geométrica; la tercera es la media armónica...”




Si los pitagóricos hubieran continuado calculando "quintas" habrían obtenido la escala con 12 notas musicales dentro de la "octava".
Do# Re# Fa# Sol# La# (# Sostenido)  


Ello  significa  que  si  partimos  de una nota musical (tono),  después  de  12  quintas  tendremos  un  tono aproximadamente igual al de partida, 7 octavas más agudo. La controversia surge cuando se observa que las doce "quintas" suman un poco más que las 7 octavas.
En efecto \(   (3/2)^{12}= 129,746     \) mientras que \( (2/1)^{7}= 128    \).
Sin  embargo,  la diferencia es suficiente como para resultar notoriamente desafinado, ya que  129,746 : 128 = 1,0136, lo que representa una diferencia de 1,36 % en la frecuencia, que será perceptible ya que está por encima del umbral de discriminación de frecuencias (0,3 %).

Hoy se denomina a esa pequeña diferencia entre ambas escalas "comma pitagórica".


(cada vuelta de la espiral representa una octava)
 Fuente grafismo "Octava- Círculo de quintas"
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A partir de esto si seguimos calculando quintas observaríamos que las notas obtenidas serían "casi" las mismas que ya teníamos, y por ello habríamos cerrado el círculo.



Este  sistema,  que  tardó  mucho  tiempo  en  imponerse,  lo  consagró  en el siglo XVIII Juan Sebastián Bach (1685- 1750) en su obra  El clave bien temperado.

Desde entonces la escala habitual empleada en Occidente es la  escala temperada. En esta escala existen once frecuencias intermedias entre una nota y su octava superior. Las  doce frecuencias de la escala temperada se denotan: [ Do  Do#   Re  Re#   Mi  Fa   Fa#   Sol  Sol#  La  La#  Si ], donde el signo # indica una nota “sostenida”. En el piano, estas doce frecuencias se corresponden con las sucesivas series de  siete teclas blancas y cinco teclas negras. 
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En la escala temperada se intercalan notas (#) entre aquellos sonidos de la octava que distan entre sí en un intervalo de un tono. Es decir que se intercalan notas entre Do  y  Re;  Re y Mi; Fa y Sol; Sol y La ; La y Si. Pero en cambio no se intercalan notas entre Si y Do, y tampoco entre Mi y Fa, ya que la distancia entre estos sonidos es de un semitono. Como resultado de estas modificaciones todos los sonidos sucesivos de la escala temperada están separados entre sí por una distancia de  un  semitono.

En la actualidad las notas musicales no se definen a partir de la longitud del objeto vibrante, sino a partir de la frecuencia de vibración de la onda sonora emitida por dicho objeto. La frecuencia y la longitud de una onda sonora se encuentran vinculadas por medio de la ecuación: \(  f=\dfrac{v}{l}  \).
Donde f es la frecuencia expresada en hercios;  v es la velocidad del sonido en metros/seg; y l es la longitud de la onda en metros. Las bajas frecuencias corresponden a tonos graves, mientras que las altas frecuencias caracterizan a los tonos agudos.

En la escala temperada las frecuencias de dos notas sucesivas verifican: \(  f_{n+1}=f_{n} \cdot K  \).

Teniendo en cuenta que se debería de verificar que \(  f_{DO} = 2 \cdot  f_{Do} =  \left ( K \right )^{12} \cdot  f_{Do}  \) , resulta  \(  K= \sqrt[12]{2} =1,05946309436... \cong 1,059  \)

Así, si sabemos que  \(  f_{Do} \cong  261\) hercios, podremos conocer \(  f_{DO}=  261 \cdot \left ( 1,059 \right )^{12}   \)

Estos cálculos eran fáciles de realizar en el siglo XVIII gracias a la invención de los logaritmos (siglo XVI).

  \( ln \left ( f_{DO} \right )= ln (261)+12\cdot ln(1,059)= 6,2524212    \)  por tanto \(   f_{DO}\cong   519,26 \) hercios.

En  1627  el  matemático  francés  Mersenne  formula  en  su  obra Harmonie  Universelle la  relación  entre  la  longitud  de  la  cuerda  y  la  frecuencia.  Proponía  la  creación  de una  escala  en donde  todos  los  intervalos  son  iguales:  la  escala  cromática  de  12 semitonos.  Una de sus mayores contribuciones fue sugerir que el valor de la razón que determina un semitono fuera el número irracional: 
\[    \sqrt{\sqrt{\frac{2}{3-\sqrt{2}}}}  =  1,0597326722...\]
Este valor era más afinado que el calculado por Vincenzo Galilei  18/17= 1,0588... que todavía se utiliza hoy.


Para detallar las cualidades de los sonidos que formarán parte de una obra musical se insertan en un pentagrama las figuras musicales y silencios, claves musicales, indicaciones de tiempo, compás, tempo, ...

La altura del sonido o nota musical queda determinada por la ubicación en el pentagrama, las notas ubicadas más arriba en el pentagrama representan mayor altura o sonidos más agudos; las notas ubicadas más abajo representan menor altura o sonidos más graves.

\(  1=2^{0} ;  2=2^{1} ; 4=2^{2} ;  8=2^{3} ; 16=2^{4} ; 32=2^{5} ; 64=2^{6}  \)

La duración del sonido de cada nota musical queda descrita por las figuras musicales: redonda, blanca, negra, corchea, semicorchea, fusa, semifusa. Esto definirá el ritmo de la obra musical (compás).
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Ritmo Pulso Compás
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El compás se indica mediante unas pequeñas líneas verticales en el pentagrama y define las secciones de la obra musical, el cifrado del compás queda descrito mediante una fracción en la parte izquierda del pentagrama: 4/4, 2/4, 3/4, 2/2,..., el numerador indica la cantidad de tiempos (pulsos) en cada compás y el denominador indica la pulsación o el tipo de figura que ocupa cada tiempo (2 indicaría que una blanca ocupa un tiempo, 4 que es una negra la que lo ocupa, 8 que es una corchea, y así sucesivamente).
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Figuras musicales
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Ritmos // compases 4/4, 3/4
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Ritmos // compás 4/4
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Compases irregulares 9/8 11/16 7/4
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Pentagrama en clave de Sol

El nombre de las notas dependerá de su ubicación en el pentagrama y de la clave musical. Clave de Sol (Sol segunda línea). Clave de Fa (Fa cuarta línea). Clave de Do (Do tercera línea).

El tempo expresa la velocidad (de los pulsos) de una obra. Esta velocidad suele expresarse mediante términos en italiano que se corresponden, de forma aproximada, con las siguientes pulsaciones (tiempos) por minuto:

Fuente de información y gráficos La armonía de los números

Actualmente, el tempo se expresa de forma más precisa indicando el número de notas por minuto. Por ejemplo, negra = 90 significa que en un minuto deben ejecutarse 90 negras.

Una vez establecido el valor de una nota, el resto también queda fijado. Así, si en 1 minuto de un Largo caben hasta 50 negras, también caben 50/4=12,5 redondas. Es decir, que si el tempo es Largo, una redonda dura como mínimo 60/12,5 = 4,8 segundos.

La nomenclatura de las notas musicales Do Re Mi Fa Sol La Si  tiene su origen en el siglo IX, aparecen en textos de Al-Mamún las notas musicales utilizando el alfabeto árabe:


En esa época el monje benedictino Pablo el Diácono compuso el himno Ut queant laxis (Himno a San Juan Bautista). En la sílaba inicial de cada verso, puso el nombre árabe de las notas, aunque utilizando como nota inicial el Do, a la que rebautizó como Ut:

Ut queant laxis
Resonáre fibris
Mira gestórum
muli tuórum
Solve pollúti
bii reátum
Sancte Ioánnes”

El monje benedictino italiano Guido de Arezzo (992-1050) es considerado el padre de la notación musical porque la desarrolló dentro de un patrón de cuatro líneas (tetragrama), popularizando los nombres de las notas utilizados en el Himno a San Juan Bautista de Pablo el Diácono. Anteriormente era utilizado el alfabeto latino: A B C D E F G, que sigue siendo utilizado en el mundo anglosajón.

Guido de Arezzo utilizó un esquema nemotécnico especial con forma de mano, conocido como la «mano guidoniana». Este esquema tuvo bastante éxito y dio origen al tetragrama, predecesor del moderno pentagrama.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/Guidonian_hand.jpg
Manuscrito medieval, siglo XV  "mano guidoniana"

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