26.3.18

Desarrollos en serie de James Gregory o de Brook Taylor



El matemático escocés James Gregory nació en Drumoak, murió muy joven, pero durante su corta vida mantuvo contactos con importantes matemáticos de distintos países.

James inicia el aprendizaje de matemáticas con su madre,
Janet Anderson, que le enseñó geometría. Su padre John Gregory murió en 1651 cuando James tenía trece años y en esta etapa su educación fue asumida por su hermano David. Asistió a una Grammar School y luego se trasladó a la universidad, Marischal College en Aberdeen.

En 1663 se traslada a Londres y un mecenas le presenta a John Collins, matemático y bibliotecario de la Royal Society, que se convertiría en una amistad de por vida.

En Londres, Gregory también se reunió con Robert Moray, presidente de la Royal Society. Moray desempeñaría un papel importante en su carrera.
 
En 1664 Gregory viaja a Italia donde conoce a los sucesores de Evangelista Torricelli, especialmente a su gran amigo Stefano degli Angeli. Casi todas las obras de Angeli estaban dedicadas a los métodos infinitesimales, con especial dedicación a la cuadratura de espirales, de parábolas y de hipérbolas.

Gregory estudió con Angeli desde 1664 hasta 1668, antes de regresar a Londres, y es probable que fuera en Italia, bajo la influencia de Pietro Mengoli y de Angeli, donde James Gregory reparó en la importancia que tenían los desarrollos de funciones en series infinitas, y los procesos infinitos, en general.

Gregory publica en 1667, en Padua, una obra titulada Vera circuli et hyperbolae quadratura, que contenía algunos resultados muy importantes sobre análisis infinitesimal. Gregory extendió el algoritmo arquimediano (método de exhausción) a la cuadratura de elipses y de hipérbolas. Inscribiendo y circunscribiendo polígonos obtuvo que al aumentar el número de lados las áreas convergían al área del sector de la cónica. Utiliza por primera vez la expresión "converger" para indicar dicha aproximación de áreas. Por medio de este proceso infinito intentó demostrar, sin éxito, la imposibilidad de la cuadratura del círculo por métodos algebraicos.


Gregory regresó a Londres procedente de Italia en 1668. Envió un ejemplar de Vera circuli et hyperbolae quadratura a Christiaan Huygens y le escribió una carta de presentación en la que le decía que esperaba escuchar sus expertas opiniones. Huygens no respondió, pero publicó una revisión del trabajo en julio de 1668. En la revisión planteó algunas objeciones y también afirmó que había sido él mismo el primero en probar algunos de los resultados de Gregory. Esto fue interpretado como una acusación de robo de los resultados de Huygens por parte de James Gregory.

Fue realmente desafortunado que estos dos grandes matemáticos entraran en una disputa, aunque cabe señalar que las disputas eran comunes en ese momento, particularmente con respecto a la prioridad de los descubrimientos. Observando la disputa con la retrospectiva del conocimiento actual, podemos decir que Huygens fue ciertamente injusto al sugerir que Gregory había robado sus resultados. Gregory los había probado de manera independiente y Huygens debería haberlo reconocido. 

También Huygens mantuvo un enfrentamiento académico con Gregory sobre la trascendencia de \( \pi  \), Huygens creía que \( \pi  \) era un número algebraico. La disputa sobre la trascendencia de \( \pi  \) era un problema difícil, iban a pasar otros dos siglos antes de que se resolviese definitivamente a favor de James Gregory.

La disputa tuvo otra consecuencia desafortunada, Gregory se mostró mucho menos interesado en publicar los métodos mediante los cuales realizaba sus descubrimientos matemáticos a partir de ese momento. Así que, no fue hasta que Herbert Turnbull examinó los documentos de Gregory en la biblioteca de la University of St Andrews en la década de 1930, que los brillantes descubrimientos de Gregory fueron conocidos.

Ahora podemos estar seguros de que durante el verano de 1668 Gregory estaba completamente familiarizado con los desarrollos en serie de seno, coseno y tangente. Él también estableció que
\( \int sec (x)dx=ln(sec(x) +tg (x))  \).


En 1668 Gregory publicó dos libros, Geometriae pars universalis (Padua) y Exercitationes geometricae (Londres), en los que reunía resultados procedentes de sus contactos con matemáticos de Francia, Italia, Holanda e Inglaterra, así como algunos descubrimientos originales suyos. Su obra aparece formulada en términos esencialmente geométricos. Si se hubiera expresado analíticamente podría haberse anticipado a Newton y Leibniz en la invención del cálculo, porque Gregory ya estaba familiarizado con los problemas de cuadraturas y los problemas de tangentes (rectificaciones).

Geometriae pars universalis contenía la primera prueba conocida de que el método de tangentes (derivación) era inverso al método de cuadraturas (integración). Gregory muestra cómo transformar una integral mediante un cambio de variable e introduce la idea básica de las fluxiones de Newton. En el momento en que Gregory publicó este trabajo, Isaac Newton ya había formado sus ideas sobre el cálculo diferencial, por lo que probablemente Gregory no le habría influenciado. Por otro lado, Newton no había contado sus ideas y, por lo tanto, estas ideas no podrían haber influido en Gregory. Esencialmente Newton y Gregory estaban trabajando las ideas básicas del cálculo al mismo tiempo, como lo hacían otros matemáticos.

James Gregory descubrió el teorema binomial para exponentes racionales, que ya era conocido por Newton pero aún no publicado.

También obtuvo a través de un ingenioso proceso geométrico recurrente (que equivaldría a efectuar diferenciaciones sucesivas de una función) el desarrollo en serie de una función cuarenta años antes de que Brook Taylor lo publicara.

James Gregory conocía los desarrollos en serie de sen x, cos x, tg x, sec x, arctg x, arcsen x, en x=0, hoy conocidas como series de Maclaurin, pero solo el desarrollo de arctg x lleva su nombre. Gregory pudo haber aprendido en Italia que el área bajo la curva \( y=\dfrac{1}{1+x^{2}} \) desde \( x=0 \) a \( x=x \) venía dada por arctg x. Mediante una simple división larga transforma \( y=\dfrac{1}{1+x^{2}} \) en la serie \(  1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}- ... \) y usando la fórmula de Cavalieri (Exercitationes geometricae sex, 1647) se obtiene el resultado de James Gregory:
\[ arctg (x)= x- \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+ ...     \]
Resultado que se conoce hoy como "serie de Gregory". Un resultado muy parecido fue obtenido, casi al mismo tiempo por Nicolaus Mercator, que utilizaba fórmulas de aproximación para el cálculo de logaritmos, en particular, el desarrollo mediante división larga de \( y=\dfrac{1}{1+x} \) y su integración término a término le ofrecía una aproximación de ln (1+x).

Gregory fue elegido miembro de la Royal Society el 11 de junio de 1668. Presentó varios documentos a la Royal Society sobre una variedad de temas que incluían astronomía, gravitación y mecánica. Robert Moray era miembro de la Royal Society y gran amigo de Gregory. Moray era escocés y graduado de la Universidad de St Andrews. Es casi seguro que fue a través de Moray que Charles II fue persuadido para crear la Cátedra Regius de Matemáticas en St. Andrews, que permitiera a Gregory continuar su sobresaliente investigación matemática.


Gregory llegó a St Andrews a fines de 1668, le dieron el Upper Hall de la biblioteca de la universidad como su lugar de trabajo. Gregory iba a llevar a cabo un importante trabajo matemático y astronómico durante sus seis años en la Cátedra Regius de Matemáticas.  

Se mantuvo en contacto por correspondencia con John Collins. Gregory preservó todas las cartas de Collins, escribiendo notas propias en la parte posterior de las cartas. Se conservan en la biblioteca de la University of St Andrews y proporcionan un registro de cómo uno de los principales matemáticos de su época hizo sus descubrimientos.

En febrero de 1671 Gregory descubrió de manera general, el desarrollo en serie de funciones y el teorema está contenido en una carta enviada a Collins el 15 de febrero de 1671. Las notas que Gregory hizo al descubrir este resultado están escritas en el reverso de una carta enviada por Collins a Gregory, el 30 de enero de 1671. Collins le respondió para decirle que Newton había encontrado un resultado similar y Gregory decidió esperar hasta que Newton lo publicara, antes de publicarlo él. Todavía se sentía mal por su disputa con Huygens y ciertamente no deseaba enredarse en una disputa similar con Newton.



Gregory dejó la universidad de St Andrews para irse a Edimburgo en 1674. Sus razones para partir dibujan una lamentable imagen de prejuicios contra el brillante matemático. 

En Edimburgo, Gregory se convirtió en la primera persona en tener la Cátedra de Matemáticas. Desgraciadamente no disfrutó del cargo mucho tiempo, murió un año después, en 1675. Fue un año en el que todavía era muy activo en investigación tanto en astronomía como en matemáticas. Se interesó por el problema de la resolución algebraica de las ecuaciones quínticas y realizó algunos descubrimientos interesantes sobre ecuaciones diofánticas. Su muerte sobrevino de repente. Una noche estaba mostrando las lunas de Júpiter a sus alumnos con su telescopio cuando sufrió un derrame cerebral y quedó ciego. Murió unos días después a la temprana edad de 36 años.

Newton pudo haber aprendido mucho de James Gregory, pero apenas pudo conocer la obra del escocés, si es que llegó a conocerla en algún momento. Desde 1668 Gregory no había vuelto a publicar. Desgraciadamente no tuvo ni la influencia ni el reconocimiento que merecían sus descubrimientos, y así, muchos de sus resultados tuvieron que ser redescubiertos más tarde por otros matemáticos.

Por ejemplo, Johann Bernoulli (1667- 1748) obtiene la expresión:



Hubo una gran controversia con los matemáticos ingleses acerca de si la conocida serie de Brook Taylor era o no un plagio de la serie de Bernoulli, lo que no sabían era que a los dos se les había adelantado James Gregory.

La familia de Brook Taylor podía permitirse tener tutores privados para su hijo. Brook ingresa al St John's College de Cambridge el 3 de abril de 1703. Para entonces tenía una buena base en matemáticas.

En 1712, Taylor fue elegido miembro de la Royal Society.
Formó parte de la comisión que debía juzgar si la autoría del calculo diferencial correspondía a Newton o a Leibniz. En 1714 fue elegido secretario de la Royal Society, posición que ocupó hasta 1718 cuando renunció, en parte debido a su falta de interés en un puesto que era bastante exigente. El período durante el cual Taylor fue secretario de la Royal Society marca lo que debe considerarse su tiempo matemáticamente productivo.  



Taylor introdujo una nueva rama de las matemáticas: "Cálculo de diferencias finitas". Precísamente, utilizando algunas ideas del cálculo de diferencias finitas y la generalización de cómo se expresa un polinomio P(x) en función de (x - a), Brook Taylor descubre la reconocida fórmula de Taylor. Comprobémoslo...
Si suponemos que el polinomio es una función de (x-a):


Derivando sucesivamente obtenemos los coeficientes:
 

 Por tanto: 

La primera mención de Taylor sobre lo que hoy se conoce como el Teorema de Taylor, aparece en una carta que escribió a John Machin el 26 de julio de 1712. En esta carta, Taylor explica cómo le surge la idea, "en Child's Coffeehouse cuando alguien comentó sobre el uso de la serie de Isaac Newton para resolver el problema de Kepler."

Taylor publica en 1715 Methodus incrementorum directa e inversa, donde aparece por primera vez el desarrollo en serie de Taylor:


Methodus incrementorum directa e inversa también contenía las fórmulas que relacionan las derivadas de una función y las derivadas de la función inversa, soluciones de ecuaciones diferenciales, ...

James Gregory, Newton, Leibniz, Johann Bernoulli y Abraham de Moivre habían descubierto variantes del Teorema de Taylor. Todos estos matemáticos habían hecho sus descubrimientos de forma independiente, y el trabajo de Taylor también era independiente del de los demás.  

La importancia del Teorema de Taylor no se reconoció hasta 1772 cuando Lagrange proclamó que era el principio básico del cálculo diferencial. El término "serie de Taylor" parece haber sido utilizado por primera vez por Simon L'Huilier en 1786. 

A partir de 1719 Brook Taylor abandona la investigación matemática, momento en el que Colin Maclaurin estaba empezando su fructífera carrera.

Colin maclaurin.jpg
  Colin Maclaurin (1698- 1746)

Colin Maclaurin había nacido en Escocia, se había educado en Glasgow, y a los 19 años era profesor de matemáticas en Aberdeen. Finalmente sería profesor en la universidad de Edimburgo. En 1720 Maclaurin publicó dos tratados: Geometrica organica y De linearum geometricarum proprietatibus.

Geometrica organica fue su obra más famosa en la que extiende los resultados de Newton y Stirling sobre cónicas, cúbicas y curvas algebraicas de orden superior.

A la vista de los importantes resultados obtenidos por Maclaurin en geometría, resulta irónico que su nombre se recuerde hoy, casi exclusivamente, referido a los desarrollos en serie de Maclaurin.

La llamada serie de Maclaurin aparece en 1742 en su tratado Treatise of Fluxions, como un caso especial, desarrollo en x=0, de la serie de Taylor.

Si hoy se recuerda el nombre de Maclaurin asociado a una serie que él no fue el primero en descubrir, la cosa se compensa con el hecho de que uno de los descubrimientos que hizo lleva el nombre de otro matemático, que lo descubrió pero lo publicó después de Maclaurin.

Se trata de la conocida regla de Cramer, que fue descubierta por Maclaurin en 1729, año en el que escribía su Treatise of Algebra, que se publicaría en 1748, dos años después de su muerte. En él aparece la regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales por medio de determinantes. Gabriel Cramer expondría esta regla dos años después en Introduction à l'analyse des lignes courbes algebriques (1750).

En estos años la matemática en Inglaterra había iniciado ya su cuesta abajo, y los matemáticos continentales no prestaban apenas atención  a los autores ingleses. Y recíprocamente, los matemáticos ingleses manifestaban una decidida indiferencia por los trabajos de los analistas continentales.


_________  Aproximaciones de polinomios de Taylor de distintos órdenes a la función  \(  f(x)= e^{-x^{2}}    \)  __________

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