Demostración Teorema de Pitágoras según Euclides

Una tradición muy persistente, que toma como base documental a Plutarco, Vitrubio, Ateneo, Diógenes  Laercio  y  Proclo,  atribuye  el Teorema  de  Pitágoras  al  propio  Pitágoras.

 

Tablilla Plimpton 322, que se conserva en la Biblioteca de Manuscritos y Libros Raros de la Universidad de Columbia, Nueva York. 

Pero  el examen arqueológico realizado de las tablillas de arcilla encontradas en Mesopotamia, pertenecientes a las civilizaciones que se desarrollaron entre los ríos Tigris y Éufrates en el segundo milenio antes de J.C., ha revelado que los antiguos babilonios conocían aspectos del teorema, ternas pitagóricas, más de mil años antes que el propio Pitágoras. Algo similar se puede afirmar respecto de las culturas que aparecieron a lo largo del río Nilo, así como de la antigua civilización hindú y de las antiguas culturas chinas que surgieron en las cuencas de los ríos Yangtze y Amarillo.

Pero parece ser que no lo conocían ni las grandes civilizaciones precolombinas de América ni tampoco las del continente africano, exceptuando la egipcia.

EL TEOREMA LLAMADO DE PITÁGORAS, UNA HISTORIA DE 4.000 AÑOS

Euclides plantea una demostración del Teorema de Pitágoras en la proposición 47, y demuestra el recíproco en la proposición 48 del Libro I de los ELEMENTOS (EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY)

P.47.- "En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es equivalente a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto"

P.48.- "Si el cuadrado de uno de los lados de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes del triángulo, entonces el ángulo contenido por esos dos lados restantes es un ángulo recto.

Es decir, en todo triángulo rectángulo ABC, siendo A el ángulo de 90º, se verifica que:

$a^{2}= b^{2}+c^{2}$

Y recíprocamente, si se verifica  $a^{2}= b^{2}+c^{2}$ entonces A será un ángulo recto.

Parece que Euclides está ansioso por situar el Teorema  de  Pitágoras  en  los Elementos en el libro I, de la manera más rápida y  directa,  ante  la imperiosa  necesidad  de utilizarlo después con asiduidad; pero ante  la  imposibilidad  de  aplicar  de  forma tan temprana la Teoría de la Proporción de Eudoxo (que desarrollará en los Libros V y VI de los Elementos), realiza una sublime y sencilla demostración.

Fuente imagen  

DEMOSTRACIÓN (Proposición 47):

Los triángulos DBC y ABJ son iguales, ya que comparten el ángulo B y los lados DB = BA, BC = BJ

Es decir, que ambos tienen igual área.

Por otro lado, área del triángulo  DBC es la mitad del producto de su base por su altura, la mitad de: $DB\cdot DE= c^{2}$

Y análogamente, el área del triángulo ABJ será la mitad de: $BJ \cdot BK$, que tiene igual área que DBC, resultando que  $BJ \cdot BK = DB\cdot DE= c^{2}$

Observando la figura podemos deducir fácilmente que el área del rectángulo $BKIJ= BJ \cdot BK = c^{2}$ .

Lo que demuestra que él area de BKIJ coincide con el área del cuadrado de lado c.

De manera análoga se comprobaría que el área de KCHI coincide con el área del cuadrado de lado b.

Y finalmente, tendremos en cuenta que el área de BCHJ es, trivialmente, la suma de las áreas de  KCHI y  BKIJ, o lo que es lo mismo:

$[BCHJ]= a^{2}= [KCHI]+ [BKIJ]= b^{2}+c^{2}$

Y recíprocamente ...

DEMOSTRACIÓN (Proposición 48):

Sea un triángulo ABC que verifica  $a^{2}= b^{2}+c^{2}$ y desconocemos si el ángulo A es recto:

 

Construyamos un triángulo ACD de manera que AD = AB y el ángulo DAC sea recto. Verifica por tanto el Teorema de Pitágoras: 

$[DA]^{2}+[AC]^{2}= [DC]^{2}$ 

$c^{2}+b^{2}= [DC]^{2}$ 

como $a^{2}= b^{2}+c^{2}$

deducimos que  $a^{2}=  [DC]^{2}$, lo que significa que $a =  DC$

Y por tanto ambos triángulos tienen los tres lados iguales, y comparten el lado AC, así que los ángulos DAC y CAB deben ser iguales, esto es, el ángulo A es recto.

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Otras demostraciones del teorema  http://enciclopedia.us.es/index.php/Teorema_de_Pitágoras

Euclides 3.0

Teorema de Pitágoras (Matemáticas visuales)

Euclid's Elements

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