La curva braquistócrona de Johann Bernoulli

Los métodos infinitesimales de Leibniz (1646-1716) ejercerían una profunda influencia en los matemáticos europeos continentales. En particular, su discípulo suizo Jakob Bernoulli (1654-1705) publicaría en mayo de 1690 un trabajo en la revista Acta Eruditorum donde establece la propiedad tautócrona de la cicloide haciendo uso del cálculo diferencial e integral. La curva cicloide se define como el lugar geométrico de un punto fijo de una circunferencia que gira sin deslizamiento a lo largo de una recta. Siendo $\theta$ el desplazamiento angular de una circunferencia de radio R, se obtienen las ecuaciones paramétricas:

$x= R\ (\theta - \sin \theta )$

$y= R\ (1-\cos \theta )$

En junio de 1696, Johann Bernoulli, hermano de Jakob, se había trasladado a Groningen (Holanda) para ocupar la cátedra de matemáticas de aquella universidad, y propone en Acta Eruditorum el problema de la braquistócrona:

 "determinar la curva, entre las infinitas posibles, por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no están ni en posición vertical ni horizontal, movido únicamente por efecto de la gravedad". 

Braquistócrona (círculo) / Galileo Galilei

El problema de la curva de tiempo más breve (braquistócrona) ya había sido considerado cerca de setenta años antes por Galileo Galilei, quien, sin poseer la potente herramienta del cálculo infinitesimal de Leibniz , había propuesto (erróneamente) que dicha curva debía de ser un arco de circunferencia.

El reto lanzado por Johann, iba dirigido a los más brillantes matemáticos del mundo. El propio Johann había añadido el inquietante dato de que dicha curva era bien conocida entre los matemáticos. El plazo para la recepción de soluciones fue establecido hasta finales de 1696, aunque Johann aseguraba que "media hora de profunda reflexión sería más que suficiente para una mente capaz". En total se recibieron cuatro propuestas de solución de Leibniz, el marqués de L´Hôpital, y los dos hermanos Jakob y Johann Bernoulli. Todas las soluciones propuestas, a excepción de la de L'Hôpital, establecían que la curva braquistócrona era una curva cicloide.

El método de resolución propuesto por Jakob Bernoulli era mucho más general que la solución propuesta por su hermano Johann, y ejerció una profunda influencia en Leonhard Euler, quien, junto a Lagrange, instauraría las bases del Cálculo de Variaciones.

 

Newton publicó de manera anónima su solución al reto de Bernoulli en Philosophical Transactions, una brillante y escueta propuesta que concluía que la curva braquistócrona era la cicloide.

Johann Bernoulli (1667-1748)

La maravillosa solución dada por Johann Bernoulli apareció en Acta Eruditorum bajo el nombre “La curvatura de un rayo en un medio no uniforme”.

Johann tomará en consideración un problema de óptica aparentemente sin relación con el problema de la braquistócrona. Conocía el Principio del menor tiempo de Fermat: "la luz va de un punto A a un punto B siguiendo la trayectoria que requiere el menor tiempo". Este principio se aplica para  encontrar la trayectoria de un rayo de luz en un medio de densidad variable, donde, en general, la luz se desplazará en curvas en lugar de líneas rectas, debido a la variación de la velocidad.

Suponiendo un medio óptico estratificado, en cada capa la velocidad de la luz es constante, y la velocidad varía de capa a capa. En el caso de que la velocidad del rayo de luz que desciende aumentara, se refractará cada vez más alejado de la vertical. Aplicando la ley de Snell: 

 $\dfrac{\sin \alpha _{1}}{v_{1}}= \dfrac{\sin \alpha _{2}}{v_{2}}= \dfrac{\sin \alpha _{3}}{v_{3}}   = ...$

Si se considera que las capas son cada vez más delgadas y numerosas, entonces, en el límite, la velocidad de la luz, conforme desciende el rayo verificará: 

$\dfrac{\sin \alpha }{v}=constante$

Johann supone que un cuerpo que desciende de A a B, puede escoger la trayectoria como lo hace un rayo de luz, empleando el menor tiempo posible. Además, por el Principio de conservación de la energía, la velocidad alcanzada en un nivel dado queda determinada por su pérdida de energía potencial que se transforma en energía cinética  $\frac{m v^{2}}{2} = mgy$ , es decir, la velocidad es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia desde donde cae: $v=\sqrt{2gy} = k· \sqrt{y}$; por tanto $sin \alpha=K· \sqrt{y}$

 $y=f(x)$ ;  $\tan \beta = \frac{dy}{dx}$    ;  $\alpha + \beta=90º$

$sin\alpha = cos\beta = \dfrac{1}{sec\beta }=\dfrac{1}{\sqrt{1+tan^{2}\beta }} =\dfrac{1}{\sqrt{1+\left ( \dfrac{dy}{dx} \right )^{2}}} = K· \sqrt{y}$

Obtenemos:  $y \left [ 1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2 \right ] = C$  ecuación diferencial de la braquistócrona, según Johann Bernoulli.

$dx= \left ( \dfrac{y}{C-y} \right )^\frac{1}{2}dy$

Efectuamos el cambio de variable $\tan\phi = \left ( \frac{y}{C-y} \right )^\frac{1}{2}$ ;  

$dx=\tan\phi ·dy$

 $y= (C-y) \tan^2\phi$

 $y· (1+\tan^2\phi) = C · \tan^2\phi$ 

 $y= C \cdot\sin^2\phi$ 

 $dy= 2C · \sin\phi ·\cos\phi · d\phi$

 $dx=\tan\phi ·dy=2C· \sin^2\phi ·d\phi = C(1-\cos 2\phi) d\phi$

Integrando:

 $x= \frac{C}{2}\left ( 2\phi-\sin2\phi \right )+C_{1}$

imponiendo las condiciones iniciales $(x,y)= (0,0) ; \phi=0$ obtenemos $C_{1}=0$

Por tanto $x= \frac{C}{2}\left ( 2\phi-\sin2\phi \right )$

Además  $y= C · \sin^2\phi=  \frac{C}{2}\left ( 1-\cos2\phi \right )$

Si efectuamos el cambio $\frac{C}{2} =R$ ; $2\phi=  \theta$ obtenemos las ecuaciones paramétricas de la cicloide:

$x= R (\theta-\sin \theta)$

$y= R (1-\cos \theta)$

  

(Tomado de Ecuaciones Diferenciales, George F. Simmons)

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Around the brachristochrone problem

Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral (I)

Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral (II)

Acta Eruditorum: Leibniz's Papers on Calculus

HISTORIA de la CICLOIDE

La curva cicloide se define como el lugar geométrico de un punto fijo de una circunferencia que gira sin deslizamiento a lo largo de una recta. Siendo $\alpha$ el desplazamiento angular de una circunferencia de radio R, se obtienen las ecuaciones paramétricas:

$x= R\cdot (\alpha -\sin \alpha )$

$y= R\cdot (1-\cos \alpha )$

El filósofo y teólogo francés Charles de Bouvelles (1471-1553) fue pionero en trabajar con la curva cicloide, estudiaba la relación de esta curva con el problema de la cuadratura del círculo.

Galileo acuña el término cicloide para esta curva y se encarga de estudiar por primera vez el área que encierra un arco de dicha curva en base a consideraciones de carácter mecánico. En particular, Galileo efectuó la comparación entre el peso de dos figuras, hechas de idéntico material, para la región que encierra un arco de cicloide y la región circular de la circunferencia que genera a la cicloide, habiendo hallado que los pesos correspondientes se encontraban en una razón aproximada de 3 a 1, pero decidió que no podía ser exactamente 3, ya que intuía (erróneamente) que dicha razón no debía ser un número racional. En carta fechada el 24 de febrero de 1640, Galileo escribe a Bonaventura Cavalieri (1598-1647), mostrando la elegancia de la curva cicloide y proponiéndola como modelo ideal para soportar los arcos de un puente.

En el siglo XVII, el monje francés Marin Mersenne (1588-1648) había establecido la igualdad entre la longitud de la circunferencia generatriz y la base de un arco de cicloide. Marin Mersenne mantenía correspondencia habitual con matemáticos como Pierre de Fermat (1601-1665) y Galileo. A partir de 1623, Mersenne organizó reuniones matemáticas semanales en París creando un excelente ambiente de investigación matemática.

Hacia 1628, Roberval (1602-1675) llega a París e ingresa en la academia de Mersenne, que rápidamente reconoce el talento de Roberval y le propone estudiar la cicloide.

Hacia 1632, Roberval había obtenido un método similar al método de los indivisibles de Cavalieri. Roberval ocupó desde 1632 hasta su muerte una cátedra en el Collège Royal de París y al parecer prefirió no hacer públicos su métodos para conservar dicha cátedra. Por esta razón, se vio envuelto en diversas polémicas relacionadas con la autoría de varios resultados matemáticos. En particular, en 1634, logró calcular el área encerrada por un arco de cicloide usando su método de indivisibles, hallando que, en efecto, el área encerrada por un arco de cicloide era igual al triple del área del círculo que genera la cicloide. La no publicación de estos resultados le involucraría posteriormente en una desagradable disputa con Evangelista Torricelli (1608-1647).

En la misma época, Descartes, Fermat y Roberval habían resuelto el problema de determinar la recta tangente a un arco de cicloide, el método de tangentes de Fermat fue un claro precursor del actual cálculo de tangentes basado en el cálculo diferencial.

En 1638, Mersenne comunicó a Galileo tanto la resolución de la cuadratura (área) de la cicloide como la determinación de la tangente en los puntos de la curva. Debido a su avanzada edad, Galileo deja estos resultados en manos de su discípulo Torricelli, que establecería sus propias demostraciones de estos resultados. En el año 1644, Torricelli publica, como apéndice de su obra “De parabole”, tanto la cuadratura como el cálculo de la tangente de la cicloide.

Blaise Pascal (1623-1662)

En 1637, a la temprana edad de 14 años, el joven Blaise Pascal comienza a asistir con asiduidad a las reuniones organizadas por Mersenne en París. Tras obtener nuevos resultados relacionados con la curva cicloide, Pascal decide plantear un reto, en el que se debían responder cuestiones relacionadas con el centro de gravedad de la región plana encerrada por la cicloide, así como con el volumen y área lateral de los sólidos obtenidos por revolución de dicha curva respecto a un eje. La resolución definitiva de las cuestiones planteadas por Pascal tuvieron que esperar a la aparición de la obra “Histoire de la roulette”, publicada por el propio Pascal a finales de ese año.

Una vez cerrado el plazo de presentación de propuestas al concurso convocado por Pascal, el arquitecto inglés Christopher Wren (1632-1723) comunicaría a Pascal un novedoso resultado sobre la cicloide. Wren había logrado la rectificación de la cicloide, hallando que la longitud de un arco de cicloide era igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia que genera la curva.

En 1658, el astrónomo, físico y matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695) trataba de mejorar el diseño de los relojes de péndulo, cuando inspirado por el reto de Pascal, estudia el periodo de un péndulo forzado a seguir una trayectoria cicloidal, descubriendo que éstos son isócronos. Huygens descubre en base a consideraciones geométricas que la curva cicloide invertida es una curva tautócrona (isocrona). Fue pionero en demostrar que la curva cicloide satisface la propiedad tautócrona y en su obra “Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demostrationes geometricae” (París, 1673) da una demostración geométrica de este hecho.

Leibniz  (1646-1716)

Años más tarde, los métodos infinitesimales de Leibniz  ejercerían una profunda influencia en los matemáticos europeos continentales. En particular, su discípulo suizo Jakob Bernoulli (1654-1705) publicaría en mayo de 1690 un trabajo en la revista Acta Eruditorum donde establece la propiedad tautócrona de la cicloide haciendo uso del cálculo diferencial e integral. Jakob Bernoulli mostró que el problema de la curva tautócrona se reducía a la resolución de una ecuación diferencial de primer orden. Los trabajos de Jakob en 1690 fueron relevantes para la historia del cálculo infinitesimal, la denominación "integral" surge por primera vez con su sentido actual como proceso inverso a la diferenciación.

Escultura  'Braquistócrona'  (Henk Ovink, University of Groningen)

En junio de 1696, Johann Bernoulli, que por entonces se había trasladado a Groningen (Holanda) para ocupar la cátedra de matemáticas de aquella universidad, propone en Acta Eruditorum el problema de la braquistócrona, consistente en "determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no están ni en posición vertical ni horizontal, movido únicamente por efecto de la gravedad". El reto lanzado por Johann, iba dirigido a los más brillantes matemáticos del mundo. El propio Johann había añadido el inquietante dato de que dicha curva era bien conocida entre los matemáticos.

El plazo para la recepción de soluciones fue establecido hasta finales de 1696, aunque Johann aseguraba que "media hora de profunda reflexión sería más que suficiente para una mente capaz". No obstante, finalizado el plazo de seis meses, únicamente Leibniz había logrado resolver el problema en cuestión, Leibniz solicita a Johann Bernoulli la ampliación del plazo de resolución de manera que otros matemáticos, en especial  los matemáticos ingleses pertenecientes a la Royal Society of  London, pudieran conocer y estudiar el problema planteado. En carta fechada el día de año nuevo de 1697, Johann Bernoulli propone la ampliación del plazo de resolución hasta la Semana Santa de 1697.

En total se recibieron cuatro propuestas de solución de Leibniz, el marqués de L´Hôpital, y los dos hermanos Jakob y Johann Bernoulli. Todas las soluciones propuestas, a excepción de la de L'Hôpital, establecían que la curva braquistócrona era una curva cicloide.

 

Johann Bernoulli (1667-1748)

La solución dada por Johann Bernoulli apareció en Acta Eruditorum bajo el nombre “La curvatura de un rayo en un medio no uniforme” y consistía en establecer una analogía entre la curva de descenso más rápido con la trayectoria que seguiría un rayo de luz en un medio plano con índice de refracción adecuadamente elegido. Haciendo uso de la denominada ley de Snell y de la ley de Galileo, por la cual la velocidad de caída de un cuerpo es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia desde donde cae, Johann obtiene la ecuación diferencial de la cicloide.

El hecho de que Huygens identificara años atrás a la cicloide como curva tautócrona hizo a Johann Bernoulli escribir como introducción a su propuesta: “Con justicia admiramos a Huygens porque fue el primero en descubrir que una masa cae por la cicloide en el mismo tiempo, sin importar el punto de  inicio del movimiento. Pero el lector quedará atónito cuando diga que esta misma cicloide, la tautócrona de Huygens, es la braquistócrona que estamos buscando.”

El método de resolución propuesto por Jakob Bernoulli era mucho más general que la solución propuesta por su hermano Johann, y ejerció una profunda influencia en Leonhard Euler, quien, junto a Lagrange, instauraría las bases del Cálculo de Variaciones.

Isaac Newton (1643-1727)

Que Isaac Newton no hubiera respondido al reto en el plazo establecido hizo pensar tanto a Johann Bernoulli como a Leibniz que el problema había desconcertado a Newton, y que, por tanto, el método de fluxiones de Newton era más limitado que el método de diferenciales de Leibniz. La razón en realidad era que Newton se hallaba al margen de la vida académica y científica, porque había sido nombrado Interventor de la Casa de la Moneda de Londres en abril de 1696.

Newton interpretó el nuevo plazo como un reto dirigido hacia su persona, hizo registrar la fecha de la recepción del reto: 29 de enero de 1697. El presidente de la Royal Society  recibiría una carta fechada el 30 de enero de 1697, que contenía una solución al problema de la braquistócrona. En febrero de 1697 en Philosophical Transactions aparecería una brillante y escueta propuesta de autor anónimo, que resolvía el reto de Bernoulli. Cuando el trabajo anónimo llegó a manos de Johann Bernoulli, impresionado por la elegancia de la solución, no tuvo la menor dificultad en identificar a Newton como autor del trabajo.

 El problema de la curva de tiempo más breve (braquistócrona) ya había sido considerado cerca de setenta años antes por Galileo, quien, sin poseer la potente herramienta del cálculo infinitesimal de Leibniz , había propuesto que dicha curva debía ser un arco de circunferencia.

 

Braquistocrona (círculo) / Galileo Galilei

Lagrange (1736-1813) comenzó alrededor de 1754 a trabajar en el problema de la tautócrona por vías puramente analíticas, y a finales de ese año ya había obtenido importantes resultados que instaurarían las bases actuales del Cálculo de Variaciones (término acuñado por Leonhard Euler). En agosto de 1755, Lagrange comunica por correspondencia a Euler sus avances en la resolución del problema de la tautócrona, así como su método para la resolución de máximos y mínimos condicionados (Método de los multiplicadores de Lagrange).

Niels Henrik Abel (1802-1829)

En 1823, Niels Henrik Abel  propone una generalización del problema de la tautócrona, los trabajos de Abel relativos a la curva tautócrona son pioneros en el desarrollo del Cálculo Fraccionario y el análisis de las Ecuaciones Integrales.

(Extraído de La cicloide: un recorrido histórico por sus propiedades )



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Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral (I)

Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral (II)

Acta Eruditorum:

Leibniz's Papers on Calculus - Differential Calculus 

Leibniz's Papers on Calculus - Integral Calculus

Leibniz's Papers on Calculus - Fundamental Theorem 

Leibniz's Papers on Calculus

Resolución de la ecuación cúbica y los números complejos

 Luca Pacioli

En 1494 Luca Pacioli publicó Summa Arithmetica donde trataba de las ecuaciones de primer y segundo grado usando un álgebra simbólica rudimentaria. Sobre la ecuación cúbica general, $a x^3 + b x^2 + c x + d =0$ , Pacioli era pesimista, él no sabía resolverla y creía que dado el estado en el que se encontraban las matemáticas en ese momento, nadie podría. Esta afirmación supuso un desafío, muy propio de la época, para los matemáticos italianos.

Scipione del Ferro trabajaba en la Universidad de Bolonia y aceptó el reto. Así fue como Scipione encontró una fórmula que resolvía una ecuación cúbica "disminuida" $a x^3 + c x + d  = 0$ , o en su forma estándar $x^3 + m x = n$. Aunque solo resolvía un caso particular, el avance algebraico fue muy importante, pero lo mantuvo en absoluto secreto. Para entender este comportamiento, incomprensible en la actualidad, hay que considerar las características de la Universidad renacentista. La continuidad en un puesto de trabajo dependía de los patronazgos e influencias políticas, y sobre todo dependía de la capacidad para salir victorioso  en los desafíos públicos. Los matemáticos debían de estar preparados para librar batallas académicas con sus retadores y las consecuencias de una humillación pública podían ser desastrosas para una carrera académica. Scipione del Ferro guardó el secreto toda su vida, pero en el lecho de muerte se la confió a su discípulo Antonio del Fiore. 

 

Niccolo Fontana (Tartaglia)

Antonio del Fiore se lanzó a la ofensiva  con su arma secreta y en 1535 retó a un reconocido científico de Brescia, Niccolo Fontana (más conocido como Tartaglia). Tartaglia tenía dificultades para hablar, debido a un corte en su cara infligido por un soldado francés en 1512 cuando el ejército saqueó su ciudad natal. A pesar de sus deformidades físicas, fue un gran matemático en la época, y se jactaba públicamente de saber resolver la ecuación cúbica $x^3 + m x = n$. Cuando le llegó el reto de Antonio del Fiore, con 30 ecuaciones cúbicas disminuidas, Tartaglia le respondió con otros 30 problemas de diversos campos de las matemáticas.

Del Fiore se lo jugaba todo a que Tartaglia no hallaría la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas.  El tiempo límite era el 13 de febrero de 1535 y con el tiempo casi agotado Tartaglia encontró la solución. Así fue como resolvió los 30 problemas planteados por Del Fiore. En un gran acto público Antonio del Fiore fue vencido y humillado por Tartaglia.

Gerolamo Cardano

.

Y es así como Gerolamo Cardano  se entera del resultado del reto y trata de convencer a Tartaglia para que divulgue el secreto. De Gerolamo Cardano se conocen muchos detalles de su azarosa vida debido a que publicó su autobiografía De Vita Propia Liber. 

Repetidas veces escribió a Tartaglia pidiéndole la solución, y las mismas veces su petición fue rechazada, Tartaglia afirmaba que escribiría un libro sobre la cuestión a su debido tiempo. Pero Cardano no cejó en su empeño y finalmente consiguió que Tartaglia aceptara una invitación para visitar Milán, el 25 de marzo de 1539. Finalmente Tartaglia confesaría su secreto a Cardano, en clave, y bajo juramento. Cardano prometió que jamás lo publicaría, y lo mantendría escrito en clave para que nadie, ni siquiera tras su muerte pudiera comprenderlo.

Aparece entonces en la vida de Cardano un joven que le pide trabajo, Ludovico Ferrari.  Aunque empezó como criado, pronto pasó a ser considerado un alumno de matemáticas precoz, en quien Cardano confiaba, de manera que cuando Ludovico cumple 20 años es considerado colega de Cardano. Cardano comparte con él el secreto de Tartaglia, los dos juntos harían grandes progresos, hasta el punto que encontrarían la solución para la ecuación cúbica general: $x^3 + b x^2 + c x + d$. El procedimiento consistía en reducir el caso general al caso resuelto por Tartaglia, lo que impedía que Cardano, debido al juramento, pudiera publicarlo. Incluso Ludovico Ferrari llegó a descubrir el método de resolución de la ecuación cuártica, reduciéndola al grado tres, por lo que tampoco el juramento les dejaba publicar sus descubrimientos.

Ars Magna/Artis Magnae

Así las cosas, Cardano y Ferrari viajan a Bolonia en 1543 y revisan los papeles de Scipione del Ferro, se dan cuenta de que la solución de la cúbica aparece en ellos, así que Cardano prescinde del juramento hecho a Tartaglia y lo publica en 1545 en su Ars Magna.

En Ars Magna, Cardano describe las vicisitudes históricas del hallazgo, dando a Tartaglia un papel secundario, pues afirma que le comunicó el procedimiento pero no la demostración. Tartaglia se rebeló ante lo que consideraba una injusticia, por el quebrantamiento del juramento. Cardano no se enfrentó a Tartaglia, lo haría Ludovico Ferrari, se enfrentaron públicamente el 10 de agosto de 1548 en Milán. Resultó vencedor Ferrari, que presumía de su superioridad intelectual. Tartaglia se retiró a Brescia, cuentan que dado el carácter hostil de la multitud en el debate tuvo suerte de salir con vida del lance.

La regla de Cardano de resolución de la ecuación cúbica disminuida: "elevar al cubo el coeficiente de x dividido por tres; añadir a esta cantidad el cuadrado de la constante de la ecuación dividida por dos y extraer la raíz cuadrada de esta suma. Repetir esta operación, y a una de las dos añadir la mitad del número que se ha elevado al cuadrado y a la otra restarle la mitad de la misma cantidad. Sustrayendo la raíz cúbica del primero de la raíz cúbica del segundo, se obtiene el valor de la x buscado que verifica la ecuación cúbica."

La demostración era puramente geométrica, hay que recordar el estado primitivo del simbolismo algebraico. Cardano imaginó un cubo perfecto de lado t, subdividido en dos segmentos $(t - u)$ y $u$. Así se obtienen 6 subvolúmenes, obteniendo Cardano una expresión, que hoy obtendríamos simplemente usando el desarrollo del binomio de Newton  $\left ( t-u \right )^{3}$.

Observando el cubo se obtiene: $t^3 = u^3 + \left ( t-u \right )^3 + 2ut \left ( t-u \right )+ u^2 (t-u)+u\left ( t-u \right )^2$

$\left ( t-u \right )^3 + 2ut \left ( t-u \right )+ u^2 (t-u)+u\left ( t-u \right )^2 = t^3 - u^3$

$\left ( t-u \right )^3 + \left ( t-u \right ) (2ut + u^2 +u\left ( t-u \right ) )= t^3 - u^3$

$\left ( t-u \right )^3 + \left ( t-u \right ) 3ut = t^3 - u^3$

Considerando  $3ut = m$ , $t^3 - u^3 = n$

Obtenemos la ecuación cúbica  $x^3 + m x = n$ , siendo $x= t-u$

A partir de estas consideraciones Cardano deduce su regla de resolución.

En lenguaje algebraico actual obtendremos ese resultado descrito por Cardano:

  $u= \dfrac{m}{3t}$

 $t^3 - \dfrac{m^3}{27t^3}= n$

multiplicando por   $t^3$

 $t^6 - \dfrac{m^3}{27}= n t^3$

Obtenemos una ecuación de segundo grado en  $t^3$

 $(t^3)^2 - n t^3 -\dfrac{m^3}{27}=0$

Resolviendo:  $t^3= \frac{n}{2}\pm \sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}$

Por tanto  $t=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}$

y además $u^3 = \frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}} - n = - \frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}$

Esto es  $u = \sqrt[3]{- \frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}} }$

Finalmente   $x= t-u = \sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}} -  \sqrt[3]{- \frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}} }$ . Lo que corrobora lo descrito por Cardano.

Como ejemplo concreto Cardano resolvió $x^3 + 6x =20$. Según su receta, elevó al cubo 6 dividido por 3, obteniendo 8; elevó al cuadrado el término constante dividido por dos para obtener 100, y finalmente le sumó 8, se obtiene 108 al que extrae la raíz cuadrada. A esta raíz se le suma y se le resta la mitad del valor constante; así que la solución final es la diferencia entre ambos valores:

$x=\sqrt[3]{10+\sqrt{108}} - \sqrt[3]{-10+\sqrt{108}}$

Cardano había observado que  $x=2$ era una raíz de esta ecuación. Y además si factorizamos observaremos que las otras dos raíces no son reales:

$x^3 + 6x -20= (x-2)\left ( x^2+2x +10 \right )$

Pero Cardano no solo sabía resolver la ecuación cúbica disminuida sino que también resolvía la ecuación cúbica general mediante una adecuada sustitución que la convertiría en disminuida.

Consideremos $a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$, realizando la sustitución $x= y - \frac{b}{3a}$ obtendremos una expresión donde los términos en $y^2$se cancelan.

Así solo tendremos que resolver la ecuación reducida en su forma estándar (podemos suponer su coeficiente principal  igual a 1).

Cardano proclama que ha resuelto el problema de la resolución de la ecuación de tercer grado, sin embargo se abrió la puerta a un gran misterio.

Tomemos la ecuación  $x^3 - 15x=4$, si aplicamos la regla de Cardano la raíz obtenida es: $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} - \sqrt[3]{-2+\sqrt{-121}}$

En el siglo XVI los números negativos estaban bajo sospecha, debido a que no podían ser interpretados en términos geométricos. Y una raíz cuadrada de un número negativo era considerada  una abominación, algo absolutamente absurdo. Lo natural era considerar que esa ecuación no tenía solución, pero la cuestión no era tan sencilla. Había ocurrido algo grandioso e inesperado: esta ecuación tenía tres soluciones diferentes y reales. Por tanteo era fácil obtener $x = 4$ y por factorización se obtienen: $x= -2\pm \sqrt{3}$ . Cuando Cardano encontraba estos casos excepcionales los abandonaba.

 

Será Rafael Bombelli quien dará el paso de considerar esos números "imaginarios"  como un camino necesario para llegar hasta las raíces reales de esas ecuaciones. Lo publicará en su tratado de Álgebra en 1572. A los matemáticos de su época estos nuevos números les parecían muy extraños.

Bombelli, sin ningún prejuicio, consideró  $\sqrt{-1}$ , y comprobó que $\left ( 2+\sqrt{-1} \right )^3 =8+12\sqrt{-1} -6 -\sqrt{-1} = 2 +11\sqrt{-1}= 2+\sqrt{-121}$

Es decir que $\left ( 2+\sqrt{-1} \right )^3 = 2+\sqrt{-121}$, o lo que es lo mismo $\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}= 2+\sqrt{-1}$, analogamente se puede ver que $\sqrt[3]{-2+\sqrt{-121}}= -2+\sqrt{-1}$

 Y retomando la solución obtenida por Cardano, Bombelli obtuvo que $x= \left ( 2+\sqrt{-1} \right )- \left ( -2+\sqrt{-1} \right )=4$

Bombelli fue el primer matemático que descubre que los números "imaginarios" jugaban un papel importante en el desarrollo del álgebra.

Habría que esperar más dos siglos para que otros matemáticos trataran estos sorprendentes números y demostraran su relevancia en el desarrollo de la matemática: Leonhard Euler, Gottfried Leibniz, Caspar Wessel, William Rowan Hamilton, ...

Y fue así como las ecuaciones cúbicas, y no las de segundo grado, marcaron el descubrimiento de los números complejos.

Pero no olvidemos a Ludovico Ferrari, él había resuelto también la ecuación cuártica. Y Cardano expone en Ars Magna dicha regla.

 Niels H. Abel

Cardano y Ferrari también intentaron encontrar una forma de resolver la ecuación quíntica,  reduciéndola a una cuártica. Durante siglos fueron muchos los matemáticos que intentaron obtener una fórmula que resolviera la ecuación de quinto grado en función de los coeficientes, pero todo fue en vano. Hasta que en 1824 Niels Abel, un joven matemático noruego, daría con la solución al enigma: "no era posible resolver la ecuación quíntica a través de sus coeficientes". La demostración de Abel se puede encontrar en A source book in mathematics (David E. Smith).

Fuente información:Viaje a través de los genios (William Dunham)
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Hamilton, de los números complejos a los cuaterniones

Las fórmulas de Cardano-Ferrari

El nacimiento de las funciones hiperbólicas (J.H. Lambert)

Debemos a Johann Heinrich Lambert (1728-1777)  la genialidad de definir las funciones hiperbólicas.
Después de que muchos matemáticos a lo largo de 100 años no lo lograran, Lambert percibió una dualidad en el comportamiento de la circunferencia (radio =1), la hipérbola equilátera (reducida), las funciones circulares (seno, coseno, ...) y las funciones hiperbólicas, que él iba a definir.

En la matemática prehelénica la trigonometría trataba de las medidas de los ángulos y lados de los triángulos. Los griegos extienden el estudio trigonométrico a las relaciones entre los ángulos centrales en un círculo y las longitudes de los arcos que subtienden. Se considera a Hiparco de Nicea (siglo II a.C.)  como el padre de la trigonometría por componer la primera tabla de trigonometría tomando como medida del ángulo central del círculo los 360º como hacemos en la actualidad (probablemente debido al uso que ya se hacía en la astronomía babilónica, cuyo sistema de numeración era sexagesimal y posicional).

Pero el actual concepto de seno es debido a los escritores de los Siddhantas (Sistemas astronómicos) , en la India en el siglo IV, quienes trataron el estudio de la correspondencia entre la mitad de la cuerda de la circunferencia y la mitad del arco central subtendido.

Así es cómo nace en la India el antepasado de la razón trigonométrica: seno de un ángulo. Serían los árabes, en el siglo IX, quienes decidirían seguir el camino hindú y además comenzarían a referir las razones trigonométricas sobre el círculo de radio unidad, OC.

(figura 1) $$\sin a = BC$$ $$\cos a = OB$$

(figura 2) (definición de Lambert)  $$\sinh a = BC$$ $$\cosh a = OB$$  

 La genialidad de Lambert fue relacionar el ángulo a con el área del sector circular, así, el seno de un ángulo a podía ser reinterpretado como el seno de "el doble del área del sector circular". En efecto:

$$\frac{a}{2 \pi }= \frac{area (a)}{\pi}$$  

Observó también la similitud de la expresión analítica de la circunferencia de radio unidad:  $x^2 +y^2 =1$  y la hipérbola equilátera (reducida):  $x^2 - y^2 =1$  

Y gracias a esta reinterpretación de las razones trigonométricas obtuvo la expresión analítica de las funciones hiperbólicas.

A(x,y)       B(0,y)     senh a = y      cosh a =x

Vamos a obtener, usando la definición de Lambert, la expresión del seno hiperbólico:

$\text{Area coloreada} = \int_{0}^{y} \sqrt{1+y^2} dy - \frac{1}{2}\left ( x\ y \right ) =  \frac{1}{2}\int_{0}^{y}\left ( \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \right )dy =  \frac{1}{2}\ ln\left ( y+\sqrt{1+y^2} \right )$
(integrando por partes y operando)

El doble del área coloreada será:  $ln\left ( y+\sqrt{1+y^2} \right ) = a$ , según piensa Lambert.

Por tanto $e^{a}= y+ \sqrt{1+y^2}$

y trivialmente $e^{-a}= \sqrt{1+y^2} -y$

De donde se deduce que  $e^{a} - e^{-a} = 2y$, o lo que es lo mismo,  $$\sinh a = y= \frac{e^{a}-e^{-a}}{2}$$

Finalmente, teniendo en cuenta que  $x =   \sqrt{1+y^2}$, obtenemos  $e^{a} + e^{-a} = 2x$

o lo que es lo mismo  $$\cosh a = x= \frac{e^{a}+e^{-a}}{2}$$

A partir de las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico se obtiene la tangente hiperbólica por analogía con la trigonometría:
$$\tanh a = \frac{\sinh a}{\cosh a}$$

La funciones recíprocas de y= sinh a , x= cosh a se deducen de la definición:

$\text{argsinh}\, y= a =  ln\left ( y+\sqrt{1+y^2} \right )$

$\text{argcosh}\, x= a =  ln \left ( x+\sqrt{x^2-1} \right )$

Ver representaciones gráficas de las funciones hiperbólicas

Y es así, cómo Lambert cierra de una manera brillante el famoso problema de la catenaria, cuya expresión analítica sería un coseno hiperbólico. Y que tantos quebraderos de cabeza les había dado a los matemáticos del siglo XVII.

$$f\left ( x \right )= a\cdot  cosh \left ( \frac{x}{a}  \right )$$

En efecto, uno de los problemas que más preocupó a los matemáticos del siglo XVII era el de determinar curvas. Hasta ese momento se consideraba que una curva estaba determinada si se podía describir un procedimiento geométrico para construirla. Pero el método de coordenadas desarrollado por Descartes y Fermat permitía asociar este problema al de encontrar la ecuación de una curva mediante el uso de polinomios (curvas algebraicas). El propio Descartes fue consciente de que existían otro tipo de curvas (no algebricas) que denominó mecánicas.

 La curva catenaria  

En 1690 Jakob Bernoulli publica Acta Eruditorum, y plantea el problema de "determinar la forma que adopta una cuerda, flexible y homogénea, fijada por sus extremos y sometida tan solo a la acción de su propio peso".

 Formulación de la catenaria de Leibniz (fig 1)  y Huygens (fig 2) 

Correspondencia Leibniz–Huygensy los orígenes de la ciencia moderna 

 

A raíz del reto formulado por Jakob Bernoulli, Huygens encuentra la solución correcta por métodos geométricos, denominando a la curva resultante catenaria. Sin embargo, serán Johann Bernoulli y Leibniz, quienes lo resolverán mediante el uso del cálculo infinitesimal. 

Johann se jactaba de haber resuelto un problema para el que su hermano Jakob se había mostrado incapaz. A partir de este momento se origina una rivalidad entre los dos hermanos muy fructífera en el terreno científico pero penosa en el ámbito personal. 

 Galileo Galilei y el propio Descartes habían creído erróneamente que esta curva era una parábola. Lo que no resulta tan descabellado si tenemos en cuenta que el polinomio de Taylor de grado 2 (parábola) del coseno hiperbólico en x=0 , resulta ser una muy buena aproximación en un amplio entorno de x=0.

$$\cosh x  \simeq  1+ \frac{x^2}{2}$$  

Si  $h = \cosh x  - ( 1+ \frac{x^2}{2})$

(catenaria) Arco Gateway, Saint Louis, Missouri

Catenarias en las artes plásticas

Sagrada familia, Barcelona (arquitecto: Antoni Gaudí)

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Gaudí y la catenaria 

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Jakob Bernoulli, la geometría y el nuevo cálculo

La curva catenaria

Ecuación de la catenaria