Gaston Maurice Julia (1893-1978) fue un matemático francés. Sus padres eran de origen catalán y se establecieron en Argelia, lugar en el que nació.
Gaston Julia fue un precursor de lo que hoy se conoce como fractal, el primero en estudiar estas maravillosas construcciones matemáticas.
Su notoriedad culminó al ser publicado su artículo Informe sobre la iteración de las funciones racionales (Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles) en la revista de matemáticas Journal de Mathématiques Pures et Appliquées.
Pero murió antes de que los fractales se hicieran populares, a inicios de los años ochenta.
Conjunto de Mandelbrot
Este interés tardío por los fractales fue debido al matemático polaco Benoit Mandelbrot, que tuvo una ventaja enorme sobre Gaston Julia: la invención del ordenador. Todas las propiedades de los fractales que estableció Julia a fuerza de cálculos y deducciones, con papel y lápiz, las podía observar en la pantalla Mandelbrot. A finales de los ochenta, los artistas se interesaron enel conjunto de Mandelbrot y, en menor medida, en los conjuntos de Julia, que estaban intrínsecamente relacionados.
La expresiónfractalviene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. Esta expresión, así como el concepto, se deben al matemático Benoît B. Mandelbrot y aparece publicado por primera vez en el año 1975 en un ensayo titulado “Les objets fractales: Forme, hasard et dimension”
Podríamos establecer como definición de fractal: objeto geométrico compuesto de elementos también geométricos de tamaño y orientación variable, que tiene las siguientes características:
El arco iris es un 'conjunto ordenado' de arcos monocromáticos dispuestos de manera circular, que comparten el mismo centro. Aparece en el cielo cuando llueve.
Cuando estamos viendo un arco iris siempre tenemos el Sol a nuestra espalda. La lluvia está formando una cortina delante de nosotros a modo de pantalla, y sobre ella podemos verlo. Para que exista un arco iris es imprescindible que haya gotas de agua suspendidas en la atmósfera. El centro común a todos los arcos mono-color estará frente a nosotros, por debajo de nuestra línea de suelo.
Para observar un arco iris que describa una circunferencia completa (360º), será necesario que nosotros estemos elevados suficientemente del suelo, como para poder observar la parte inferior.
Impresionante vídeo que muestra un arco iris (circular 360º), observado en Galicia.
Fue captado desde un generador de un parque eólico.
Para que podamos ver ‘los colores del arco iris’ es necesario que la luz incida (1) y recorra un cierto tiempo la gota de agua. Una vez que la luz está dentro de la gota de agua (aire-agua = refracción) vuelve a encontrarse con un cambio de medio (2), en este caso agua-aire, por lo que parte de la luz pasará de largo y volverá al aire y parte de ella volverá hacia atrás (agua-agua, reflexión) a través de la gota (3). Una vez hecho esto se volverá a encontrar la frontera agua-aire y por tanto parte de la luz que aún queda saldrá y podrá llegar hasta nosotros, será el arco iris primario. Después de dos reflexiones, (2) y (3), se produce la refracción(4) que origina el arco secundario.
La gota descompone el rayo de luz que proviene del Sol, en todos sus colores, al mismo tiempo que lo desvía. La gota actúa como lo haría un prisma: la primera refracción separa los colores que contiene el rayo de luz y la segunda refracción incrementa aún más esta separación.
Cuando esta reflexión / refracción se produce en millones de gotas suspendidas en el aire se forma un arco de colores en el cielo (varios arcos monocromáticos concéntricos).
El grupo de gotas que se ve del mismo color se situará sobre una misma circunferencia.
Pero el número de reflexiones internas (4), agua-agua, puede ser mayor de dos (dependiendo de por donde haya entrado el rayo de luz en la gota) y esto dará lugar a la aparición de dos arco iris: el arco iris primario (de colores más vivos e interior) y el arco iris secundario (de colores más débiles y exterior).
La pureza de los colores viene determinada por el grado de ‘superposición’ de los arcos iris monocromáticos, que a su vez queda determinada a partir del tamaño de las gotas. Las gotas grandes (unos cuantos milímetros) dan colores de arco iris muy puros (nítidos). Gotas pequeñas (del orden de 0.01 mm) superponen mucho los colores y resulta un arco iris casi blanco.
La dispersión de la luz dentro de las gotas se debe a que los diferentes colores tienen diferentes índices de refracción pero también es muy importante, para explicar el arco iris multicolor, saber que la dirección de la luz refractada depende de la dirección de los rayos que impactan en la gota y su posición. Todos los colores se refractan formando un cono de color cuyo eje es paralelo al rayo de luz que procede del Sol e incide en la gota.
El rayo de luz que viene del Sol y la línea imaginaria que va del observador al centro del arco iris son paralelas y por lo tanto vemos que el rayo rojo forma 42º(apróx) con la horizontal.
Nuestros ojos interceptan los colores separados que parten de las gotas de lluvia, los rayos rojos forman con los rayos de luz blanca incidentes ángulos ligeramente superiores [42º ] que los que forman los rayos azules [40º].
Lo que vemos en el arco iris es un arco de colores con el rojo situado en la parte exterior, y los demás colores: naranja, amarillo, verde y finalmente el azul que está en la parte interior del arco.
La razón por la que el arco iris dibuja en el cielo un arco de círculo es que el ángulo entre la luz solar incidente y la luz refractada de cualquier color es necesariamente el mismo para cada gota, siendo en el arco iris primario mayor para la luz roja [42º], por eso se abre más, y menor para la luz violeta [40º ]. Para que estos ángulos se mantengan visibles a nuestros ojos las gotas que los envían deben estar describiendo una circunferencia, conservando la medida de dicho ángulo respecto del eje imaginario de un cono con base el círculo descrito, y cuyo vértice somos nosotros mismos.
Como el ángulo para ver el arco iris siempre es de 42º(apróx), cuanto más 'bajo' esté el Sol más alto se ve el arco iris, llegando a convertirse el arco visible en una circunferencia cuando el Sol está sobre el horizonte.
Si el rayo de luz que incide sobre la gota de agua realiza dos refracciones y tres reflexiones internas, el resultado es la formación de un arco iris secundario de colores invertidos, más débil y que queda por encima del arco iris primario. Su debilitamiento se debe a la luz que se refracta y sale al exterior en cada reflexión interna.
Los ángulos que forman los rayos incidente y refractado hacia el ojo son mayores en el arco iris secundario: 50 º para la luz roja y 54º para la violeta. El orden de los colores en el arco iris secundario está invertido debido a la doble reflexión interna.
La zona situada entre los dos arco iris es menos luminosa que el resto del cielo. El primero que observó este hecho fue Alejandro de Afrodisia y en su honor se llama zona oscura de Alejandro.
Muchas de las características del arco iris fueron explicadas por Aristóteles. Y hace más de tres siglos que Isaac Newton logró demostrar la descomposición de la luz blanca.
La 'Teoría Elemental del arco iris' es anterior a Newton. Desarrollada primero por Antonius de Demini en 1611, fue retomada por Descartes. Posteriormente, la 'Teoría Completa del arco iris' fue propuesta en forma inicial por Thomas Young y, más tarde, elaborada en detalle por Richard Potter y George Biddell Airy.
- El 30 de mayo de 1832, en un descampado de las afueras de París, Evariste Galois recibió un disparo en el estómago durante un duelo de honor que le hizo morir desangrado al día siguiente en un hospital.
El día anterior, 29 de mayo, había escrito una carta-testamento dirigida a su amigo Auguste Chevalier. Galois no tenía muchas esperanzas de salir con vida. En esa larga carta, de 7 páginas, encomendaba a Chevalier la tarea de hacer llegar sus trabajos a Gauss y a Jacobi, únicos matemáticos capaces de comprenderle, según su criterio.
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TESTAMENTO DE EVARISTE GALOIS (29 de mayo de 1832)
Página 1 transcrita:
Mon cher Ami,
J'ai fait en analyse plusieurs choses nouvelles. Les unes concernent la théorie des équations algébriques; les autres, les fonctions intégrales.
Dans la théorie des équations, j'ai recherché dans quels cas les équations étaient résolubles par des radicaux ; ce qui ma donné occasion d'approfondir cette théorie, et de décrire toutes les transformations possibles sur une équation, lors meme qu'elle n'est pas résoluble par radicaux.
On pourra faire avec tout cela trois Mémoires.
Le premier est écrit; et, malgré ce qu'en a dit Poisson, je le maintiens avec les corrections que j'y ai faites.
Le second contient des applications assez curieuses de la théorie des équations. Voici le résumé des choses les plus importantes.
1* D'après les propositions II et III du premier Mémoires, on voit une grande différence entre adjoindre à une équation une des racines d'une équation auxiliaire, ou les adjoindre toutes.
Dans les deux cas, le groupe de l'équation se partage par l'adjonction en groupes tels que l'on passe de l'un à l'autre par une meme substitution; mais la condition que ces groupes aient les memes substitutions n'a lieu certainement que dans le second cas. Cela s'appelle la décomposition propre.
En d'autres termes, quand un groupe G en contient un autre H, le groupe G peut se partager en groupes, que l'on obtient chacun en opérant sur les permutations de H une meme substitution ; en sorte que G = H + H S + H S' + ... Et aussi, il peut se décomposer en groupes qui ont toutes les memes substitutions G = H + T H + T' H + ... Ces deux genres de décompositions ne coincident pas ordinairement. Quand elles coincident, la décomposition est dite propre.
Il est aisé de voir que quand le groupe d'une équation n'est susceptible d'aucune décomposition propre, on aura beau transformer cette équation, les groupes des équations transformées auront toujours le meme nombre de permutations.
Au contraire, quand le groupe d'une équation est susceptible d'une décomposition propre, en sorte qu'il se partage en M groupes de N permutations,
Una tradición muy persistente, que toma como base documental a Plutarco, Vitrubio, Ateneo, Diógenes Laercio y Proclo, atribuye el Teorema de Pitágoras al propio Pitágoras.
Tablilla Plimpton 322, que se conserva en la Biblioteca de Manuscritos y Libros Raros de la Universidad de Columbia, Nueva York.
Pero el examen arqueológico realizado de las tablillas de arcilla encontradas en Mesopotamia, pertenecientes a las civilizaciones que se desarrollaron entre los ríos Tigris y Éufrates en el segundo milenio antes de J.C., ha revelado que los antiguos babilonios conocían aspectos del teorema, ternas pitagóricas, más de mil años antes que el propio Pitágoras. Algo similar se puede afirmar respecto de las culturas que aparecieron a lo largo del río Nilo, así como de la antigua civilización hindú y de las antiguas culturas chinas que surgieron en las cuencas de los ríos Yangtze y Amarillo.
Pero parece ser que no lo conocían ni las grandes civilizaciones precolombinas de América ni tampoco las del continente africano, exceptuando la egipcia.
Euclides plantea una demostración del Teorema de Pitágoras en la proposición 47, y demuestra el recíproco en la proposición 48 del Libro I de los ELEMENTOS (EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY)
P.47.- "En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es equivalente a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto"
P.48.- "Si el cuadrado de uno de los lados de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes del triángulo, entonces el ángulo contenido por esos dos lados restantes es un ángulo recto.
Es decir, en todo triángulo rectángulo ABC, siendo A el ángulo de 90º, se verifica que:
\( a^{2}= b^{2}+c^{2} \)
Y recíprocamente, si se verifica \( a^{2}= b^{2}+c^{2} \) entonces A será un ángulo recto.
Parece que Euclides está ansioso por situar el Teorema de Pitágoras en los Elementos en el libro I, de la manera más rápida y directa, ante la imperiosa necesidad de utilizarlo después con asiduidad; pero ante la imposibilidad de aplicar de forma tan temprana la Teoría de la Proporción de Eudoxo (que desarrollará en los Libros V y VI de los Elementos), realiza una sublime y sencilla demostración.
Los triángulos DBC y ABJ son iguales, ya que comparten el ángulo B y los lados DB = BA, BC = BJ
Es decir, que ambos tienen igual área.
Por otro lado, área del triángulo DBC es la mitad del producto de su base por su altura, la mitad de: \( DB\cdot DE= c^{2} \)
Y análogamente, el área del triángulo ABJ será la mitad de: \( BJ \cdot BK \), que tiene igual área que DBC, resultando que \( BJ \cdot BK = DB\cdot DE= c^{2} \)
Observando la figura podemos deducir fácilmente que el área del rectángulo \( BKIJ= BJ \cdot BK = c^{2}\) .
Lo que demuestra que él area de BKIJ coincide con el área del cuadrado de lado c.
De manera análoga se comprobaría que el área de KCHI coincide con el área del cuadrado de lado b.
Y finalmente, tendremos en cuenta que el área de BCHJ es, trivialmente, la suma de las áreas de KCHI y BKIJ, o lo que es lo mismo:
\( [BCHJ]= a^{2}= [KCHI]+ [BKIJ]= b^{2}+c^{2} \)
Y recíprocamente ...
DEMOSTRACIÓN (Proposición 48):
Sea un triángulo ABC que verifica \( a^{2}= b^{2}+c^{2} \) y desconocemos si el ángulo A es recto:
Construyamos un triángulo ACD de manera que AD = AB y el ángulo DAC sea recto. Verifica por tanto el Teorema de Pitágoras:
\( [DA]^{2}+[AC]^{2}= [DC]^{2} \)
\( c^{2}+b^{2}= [DC]^{2} \)
como \( a^{2}= b^{2}+c^{2} \)
deducimos que \( a^{2}= [DC]^{2} \), lo que significa que \( a = DC \)
Y por tanto ambos triángulos tienen los tres lados iguales, y comparten el lado AC, así que los ángulos DAC y CAB deben ser iguales, esto es, el ángulo A es recto.
Sosígenes de Alejandría había medido el año, en el siglo I a. C., en 365,25 días con un error de 11 minutos y 14 segundos.
Julio César
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Julio César, a mediados del siglo I a. C., introdujo el calendario juliano que pondría remedio a los años de 365 días.
Tras tres años de 365 días habría un año bisiesto con 366 días. Esto dejó la duración media de un año en 365,25 días, durante los 1500 años posteriores a la implantación del año juliano.
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Origen de los nombres de los meses del AÑO .
A finales del siglo XVI los dirigentes de la Iglesia Católica ya no estaban dispuestos a pasar por alto el error de añadir 11 minutos y 14 segundos anualmente. Los consejeros del Vaticano, Luigi Lilio y Christopher Clavius, calcularon que, tras mil años, se sumarían 8 días. Por tanto, en unos "escasos" 12 mil años: la Navidad caería en otoño y la Semana Santa en pleno invierno.
Dado que a la Iglesia le gusta pensar a largo plazo, esas imprecisiones resultaban inaceptables.
El Papa Gregorio XIII meditó seriamente sobre el tema y concluyó que el año juliano era demasiado largo...
Papa Gregorio XIII
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Para compensar la inexactitud, el Papa decidió ajustar el calendario saltándose algunos años bisiestos. Cada 25 años bisiestos el día extra añadido por Julio César sería cancelado.
El mes de febrero (que era el duodécimo mes del año tras ser añadidos dos meses al año de 10 meses romano) fue el candidato natural a incorporar o no, el día extra.
Y así, el mes de febrero del último año de cada siglo, es decir el año divisible por 100, solo tendría 28 días aunque fuera bisiesto. Los años bisiestos a los que se les eliminó el día extra son ahora años bisiestos no bisiestos. Por tanto, cada siglo tendría 75 años de 365 días, 24 años bisiestos de 366 días y 1 año bisiesto no bisiesto con 365 días.
Sin embargo no se solucionó el problema porque ahora se quedaba corto, por poco, pero corto. Se requería una nueva adaptación. El Papa y sus consejeros hincaron los codos de nuevo y tuvieron una genial idea...recuperar el año bisiesto cada cuarto bisiesto no bisiesto!!!. Así se cerraría el círculo, y los años divisibles por 400 se convirtieron en bisiestos no bisiestos bisiestos!!!
Dado que el año 1600 estaba a la vuelta de la esquina, se declaró que ese sería el primer año bisiesto no bisiesto bisiesto. El siguiente sería el año 2000.
Años bisiestos no bisiestos: 1700, 1800, 1900, 2100,...
Años bisiestos no bisiestos bisiestos: 1600, 2000, 2400,...
Ahora la duración media de un año era de exactamente 365,2425 días.
Pero como ya habréis imaginado resultaba un pelín largo el año. A estas alturas el Papa Gregorio estaba harto. La Iglesia aceptaba la inexactitud de 26 segundos al año, que provocaría tener un día extra cada 3322 años.
Llegados a este punto se habían solucionado las imprecisiones futuras...pero aún quedaba resolver las del pasado calendario juliano. El Papa Gregorio lo resolvió de un plumazo, un golpe de ingenio, en 1582 simplemente borró 10 días del calendario. Así que al jueves 4 de octubre de 1582 le siguió el viernes 15 de octubre de 1582. Y de paso demostró al mundo quién era el verdadero jefe sobre la faz de la Tierra...
Pero los países no católicos no tenían ninguna intención de seguir los dictados del Papa.
La vigencia de dos calendarios dio lugar a situaciones singulares. El rey Guillermo III de Inglaterra zarpó el 11 de noviembre de 1688 desde los Países Bajos, para tocar puerto en Brixham el 5 de noviembre, puesto que Gran Bretaña y su imperio no adoptaron la reforma del calendario hasta el 2 de septiembre de 1752 (tuvieron que eliminar 11 días).
En Alaska el cambio entró en vigor el 6 de octubre de 1867, cuando el territorio fue adquirido por Estados Unidos a Rusia. En este último país aún regía el calendario juliano; de hecho, la Revolución de octubre de 1917 se produjo en noviembre!! para los países occidentales, ya que Rusia no cambiaría de sistema hasta el 31 de enero de 1918 (eliminaría 13 días).
Revolución de octubre de 1917 (Lenin)
Hasta 1923 era frecuente que los documentos reflejaran dos fechas diferentes.
Aún no está el tema resuelto. Ni sabemos cómo acabará. Cuatrocientos años después amenaza con venirse abajo el sistema del calendario gregoriano...
La ciencia ha progresado, los relojes atómicos pueden medir el tiempo con una precisión tal que se produciría un error de un segundo cada 15 mil millones de años. Con medidas del tiempo tan espectacularmente precisas, un exceso de 26 segundos anuales se hace de nuevo intolerable. George Szpiro propone un ajuste más, eliminar el día extra de febrero cada octavo año bisiesto no bisiesto bisiesto, de manera que cada 3200 años, el mes de febrero tendría de nuevo 28 días; sería el último ajuste, y esos años serían bisiestos no bisiestos bisiestos no bisiestos... El año duraría una media de 365,242188 días. El primer año de este tipo sería el 4400.
Con este hipotético nuevo ajuste, la duración media del año sería ahora un segundo más corta, que se convertiría en un día, después de 86400 años. Es una imprecisión que hasta los religiosos y matemáticos más puntillosos podrían soportar.
Fuente texto: La vida secreta de los números (autor George Szpiro)
