Resolución de la ecuación cúbica y los números complejos

 Luca Pacioli

En 1494 Luca Pacioli publicó Summa Arithmetica donde trataba de las ecuaciones de primer y segundo grado usando un álgebra simbólica rudimentaria. Sobre la ecuación cúbica general, \(    a x^3 + b x^2 + c x + d =0     \) , Pacioli era pesimista, él no sabía resolverla y creía que dado el estado en el que se encontraban las matemáticas en ese momento, nadie podría. Esta afirmación supuso un desafío, muy propio de la época, para los matemáticos italianos.

Scipione del Ferro trabajaba en la Universidad de Bolonia y aceptó el reto. Así fue como Scipione encontró una fórmula que resolvía una ecuación cúbica "disminuida" \(    a x^3 + c x + d  = 0   \) , o en su forma estándar \(     x^3 + m x = n      \). Aunque solo resolvía un caso particular, el avance algebraico fue muy importante, pero lo mantuvo en absoluto secreto. Para entender este comportamiento, incomprensible en la actualidad, hay que considerar las características de la Universidad renacentista. La continuidad en un puesto de trabajo dependía de los patronazgos e influencias políticas, y sobre todo dependía de la capacidad para salir victorioso  en los desafíos públicos. Los matemáticos debían de estar preparados para librar batallas académicas con sus retadores y las consecuencias de una humillación pública podían ser desastrosas para una carrera académica. Scipione del Ferro guardó el secreto toda su vida, pero en el lecho de muerte se la confió a su discípulo Antonio del Fiore. 

 

Niccolo Fontana (Tartaglia)

Antonio del Fiore se lanzó a la ofensiva  con su arma secreta y en 1535 retó a un reconocido científico de Brescia, Niccolo Fontana (más conocido como Tartaglia). Tartaglia tenía dificultades para hablar, debido a un corte en su cara infligido por un soldado francés en 1512 cuando el ejército saqueó su ciudad natal. A pesar de sus deformidades físicas, fue un gran matemático en la época, y se jactaba públicamente de saber resolver la ecuación cúbica \(    x^3 + m x = n     \). Cuando le llegó el reto de Antonio del Fiore, con 30 ecuaciones cúbicas disminuidas, Tartaglia le respondió con otros 30 problemas de diversos campos de las matemáticas.

Del Fiore se lo jugaba todo a que Tartaglia no hallaría la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas.  El tiempo límite era el 13 de febrero de 1535 y con el tiempo casi agotado Tartaglia encontró la solución. Así fue como resolvió los 30 problemas planteados por Del Fiore. En un gran acto público Antonio del Fiore fue vencido y humillado por Tartaglia.

Gerolamo Cardano

.

Y es así como Gerolamo Cardano  se entera del resultado del reto y trata de convencer a Tartaglia para que divulgue el secreto. De Gerolamo Cardano se conocen muchos detalles de su azarosa vida debido a que publicó su autobiografía De Vita Propia Liber. 

Repetidas veces escribió a Tartaglia pidiéndole la solución, y las mismas veces su petición fue rechazada, Tartaglia afirmaba que escribiría un libro sobre la cuestión a su debido tiempo. Pero Cardano no cejó en su empeño y finalmente consiguió que Tartaglia aceptara una invitación para visitar Milán, el 25 de marzo de 1539. Finalmente Tartaglia confesaría su secreto a Cardano, en clave, y bajo juramento. Cardano prometió que jamás lo publicaría, y lo mantendría escrito en clave para que nadie, ni siquiera tras su muerte pudiera comprenderlo.

Aparece entonces en la vida de Cardano un joven que le pide trabajo, Ludovico Ferrari.  Aunque empezó como criado, pronto pasó a ser considerado un alumno de matemáticas precoz, en quien Cardano confiaba, de manera que cuando Ludovico cumple 20 años es considerado colega de Cardano. Cardano comparte con él el secreto de Tartaglia, los dos juntos harían grandes progresos, hasta el punto que encontrarían la solución para la ecuación cúbica general: \(    x^3 + b x^2 + c x + d      \). El procedimiento consistía en reducir el caso general al caso resuelto por Tartaglia, lo que impedía que Cardano, debido al juramento, pudiera publicarlo. Incluso Ludovico Ferrari llegó a descubrir el método de resolución de la ecuación cuártica, reduciéndola al grado tres, por lo que tampoco el juramento les dejaba publicar sus descubrimientos.

Ars Magna/Artis Magnae

Así las cosas, Cardano y Ferrari viajan a Bolonia en 1543 y revisan los papeles de Scipione del Ferro, se dan cuenta de que la solución de la cúbica aparece en ellos, así que Cardano prescinde del juramento hecho a Tartaglia y lo publica en 1545 en su Ars Magna.

En Ars Magna, Cardano describe las vicisitudes históricas del hallazgo, dando a Tartaglia un papel secundario, pues afirma que le comunicó el procedimiento pero no la demostración. Tartaglia se rebeló ante lo que consideraba una injusticia, por el quebrantamiento del juramento. Cardano no se enfrentó a Tartaglia, lo haría Ludovico Ferrari, se enfrentaron públicamente el 10 de agosto de 1548 en Milán. Resultó vencedor Ferrari, que presumía de su superioridad intelectual. Tartaglia se retiró a Brescia, cuentan que dado el carácter hostil de la multitud en el debate tuvo suerte de salir con vida del lance.

La regla de Cardano de resolución de la ecuación cúbica disminuida: "elevar al cubo el coeficiente de x dividido por tres; añadir a esta cantidad el cuadrado de la constante de la ecuación dividida por dos y extraer la raíz cuadrada de esta suma. Repetir esta operación, y a una de las dos añadir la mitad del número que se ha elevado al cuadrado y a la otra restarle la mitad de la misma cantidad. Sustrayendo la raíz cúbica del primero de la raíz cúbica del segundo, se obtiene el valor de la x buscado que verifica la ecuación cúbica."

La demostración era puramente geométrica, hay que recordar el estado primitivo del simbolismo algebraico. Cardano imaginó un cubo perfecto de lado t, subdividido en dos segmentos \(  (t - u)       \) y \( u  \). Así se obtienen 6 subvolúmenes, obteniendo Cardano una expresión, que hoy obtendríamos simplemente usando el desarrollo del binomio de Newton  \(  \left ( t-u \right )^{3} \).

Observando el cubo se obtiene: \(  t^3 = u^3 + \left ( t-u \right )^3 + 2ut \left ( t-u \right )+ u^2 (t-u)+u\left ( t-u \right )^2 \)

\(   \left ( t-u \right )^3 + 2ut \left ( t-u \right )+ u^2 (t-u)+u\left ( t-u \right )^2 = t^3 - u^3 \)

\(   \left ( t-u \right )^3 + \left ( t-u \right ) (2ut + u^2 +u\left ( t-u \right ) )= t^3 - u^3 \)

\(   \left ( t-u \right )^3 + \left ( t-u \right ) 3ut = t^3 - u^3 \)

Considerando  \(  3ut = m \) , \(   t^3 - u^3 = n \)

Obtenemos la ecuación cúbica  \(    x^3 + m x = n     \) , siendo \(  x= t-u \)

A partir de estas consideraciones Cardano deduce su regla de resolución.

En lenguaje algebraico actual obtendremos ese resultado descrito por Cardano:

  \(  u= \dfrac{m}{3t}  \)

 \( t^3 - \dfrac{m^3}{27t^3}= n \)

multiplicando por   \( t^3 \)

 \( t^6 - \dfrac{m^3}{27}= n t^3\)

Obtenemos una ecuación de segundo grado en  \( t^3 \)

 \(  (t^3)^2 - n t^3 -\dfrac{m^3}{27}=0 \)

Resolviendo:  \(  t^3= \frac{n}{2}\pm \sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}} \)

Por tanto  \(  t=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}  \)

y además \(  u^3 = \frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}} - n = - \frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}} \)

Esto es  \( u = \sqrt[3]{- \frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}} } \)

Finalmente   \(  x= t-u = \sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}} -  \sqrt[3]{- \frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}} } \) . Lo que corrobora lo descrito por Cardano.

Como ejemplo concreto Cardano resolvió \(  x^3 + 6x =20 \). Según su receta, elevó al cubo 6 dividido por 3, obteniendo 8; elevó al cuadrado el término constante dividido por dos para obtener 100, y finalmente le sumó 8, se obtiene 108 al que extrae la raíz cuadrada. A esta raíz se le suma y se le resta la mitad del valor constante; así que la solución final es la diferencia entre ambos valores:

\( x=\sqrt[3]{10+\sqrt{108}} - \sqrt[3]{-10+\sqrt{108}} \)

Cardano había observado que  \( x=2 \) era una raíz de esta ecuación. Y además si factorizamos observaremos que las otras dos raíces no son reales:

\(  x^3 + 6x -20= (x-2)\left ( x^2+2x +10 \right )  \)

Pero Cardano no solo sabía resolver la ecuación cúbica disminuida sino que también resolvía la ecuación cúbica general mediante una adecuada sustitución que la convertiría en disminuida.

Consideremos \(    a x^3 + b x^2 + c x + d = 0     \), realizando la sustitución \(  x= y - \frac{b}{3a}  \) obtendremos una expresión donde los términos en \( y^2 \)se cancelan.

Así solo tendremos que resolver la ecuación reducida en su forma estándar (podemos suponer su coeficiente principal  igual a 1).

Cardano proclama que ha resuelto el problema de la resolución de la ecuación de tercer grado, sin embargo se abrió la puerta a un gran misterio.

Tomemos la ecuación  \( x^3 - 15x=4 \), si aplicamos la regla de Cardano la raíz obtenida es: \( \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} - \sqrt[3]{-2+\sqrt{-121}} \)

En el siglo XVI los números negativos estaban bajo sospecha, debido a que no podían ser interpretados en términos geométricos. Y una raíz cuadrada de un número negativo era considerada  una abominación, algo absolutamente absurdo. Lo natural era considerar que esa ecuación no tenía solución, pero la cuestión no era tan sencilla. Había ocurrido algo grandioso e inesperado: esta ecuación tenía tres soluciones diferentes y reales. Por tanteo era fácil obtener \( x = 4 \) y por factorización se obtienen: \(  x= -2\pm \sqrt{3} \) . Cuando Cardano encontraba estos casos excepcionales los abandonaba.

 

Será Rafael Bombelli quien dará el paso de considerar esos números "imaginarios"  como un camino necesario para llegar hasta las raíces reales de esas ecuaciones. Lo publicará en su tratado de Álgebra en 1572. A los matemáticos de su época estos nuevos números les parecían muy extraños.

Bombelli, sin ningún prejuicio, consideró  \(  \sqrt{-1} \) , y comprobó que \( \left ( 2+\sqrt{-1} \right )^3 =8+12\sqrt{-1} -6 -\sqrt{-1} = 2 +11\sqrt{-1}= 2+\sqrt{-121}\)

Es decir que \(   \left ( 2+\sqrt{-1} \right )^3 = 2+\sqrt{-121} \), o lo que es lo mismo \(  \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}= 2+\sqrt{-1} \), analogamente se puede ver que \(  \sqrt[3]{-2+\sqrt{-121}}= -2+\sqrt{-1}  \)

 Y retomando la solución obtenida por Cardano, Bombelli obtuvo que \( x= \left ( 2+\sqrt{-1} \right )- \left ( -2+\sqrt{-1} \right )=4   \)

Bombelli fue el primer matemático que descubre que los números "imaginarios" jugaban un papel importante en el desarrollo del álgebra.

Habría que esperar más dos siglos para que otros matemáticos trataran estos sorprendentes números y demostraran su relevancia en el desarrollo de la matemática: Leonhard Euler, Gottfried Leibniz, Caspar Wessel, William Rowan Hamilton, ...

Y fue así como las ecuaciones cúbicas, y no las de segundo grado, marcaron el descubrimiento de los números complejos.

Pero no olvidemos a Ludovico Ferrari, él había resuelto también la ecuación cuártica. Y Cardano expone en Ars Magna dicha regla.

 Niels H. Abel

Cardano y Ferrari también intentaron encontrar una forma de resolver la ecuación quíntica,  reduciéndola a una cuártica. Durante siglos fueron muchos los matemáticos que intentaron obtener una fórmula que resolviera la ecuación de quinto grado en función de los coeficientes, pero todo fue en vano. Hasta que en 1824 Niels Abel, un joven matemático noruego, daría con la solución al enigma: "no era posible resolver la ecuación quíntica a través de sus coeficientes". La demostración de Abel se puede encontrar en A source book in mathematics (David E. Smith).

Fuente información:Viaje a través de los genios (William Dunham)
____________________
Hamilton, de los números complejos a los cuaterniones

Las fórmulas de Cardano-Ferrari