Georg Cantor y la Teoría de los Infinitos

La idea del infinito era motivo de horror entre los matemáticos griegos de la época clásica. Pero lentamente penetraba en la mente matemática el concepto del infinito. Galileo Galilei sintió la necesidad de introducirlo en la matemática. En 1636 Galileo en su obra "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo" enunció  la idea de que había conjuntos infinitos.

El desarrollo de la matemática tendía en esa misma dirección, sin llegar a un concepto claro sobre el infinito actual, siendo aceptado el infinito potencial (los números primos pueden ser infinitos). En el siglo XIX, surgieron descubrimientos matemáticos que indicaban que los números racionales e irracionales no tenían el mismo peso en el conjunto de los números reales.

Cauchy y Weierstrass habían conseguido establecer los fundamentos del Cálculo sobre la noción de límite, pero los matemáticos estaban empezando a ver que algunas de las cuestiones fundamentales del Cálculo descansaban sobre las propiedades de los conjuntos de números racionales y reales.

 Georg Cantor y su esposa, Vally Guttmann

Georg Cantor había nacido en San Petersburgo (1845) en el seno de una familia muy religiosa, padre protestante y madre católica. Cantor desarrollará toda su vida un gran interés por los temas teológicos, en particular por los relacionados con la naturaleza de lo infinito. Cuando tiene 12 años su familia se traslada a Alemania. Sobresale en matemáticas y en 1867 completa su doctorado en la Universidad de Berlín, donde estudia con Weierstrass, que le pone en contacto con el desarrollo riguroso del Cálculo. La investigación de Cantor sobre los puntos débiles del Análisis Matemático le lleva a considerar las diferencias intrínsecas entre conjuntos de números y la importancia de encontrar un modo de comparar los tamaños de los mismos.

"Dos conjuntos M y N, son equivalentes (equipotentes) si es posible ponerlos, mediante una cierta ley, en relación mutua tal que a cada elemento de uno ellos le corresponde uno y solo un elemento del otro." (Georg Cantor)

De manera brillante Cantor comparaba conjuntos, no necesariamente finitos. Se embarcó en una tarea que le llevaría por caminos extraños, y serían muchos los matemáticos que ridiculizarían sus esfuerzos, entre ellos Cauchy.

Los primeros trabajos de Cantor se refirieron a la teoría de números y fueron publicados entre 1867 y 1871.

Un suceso de gran importancia marcó su futuro como matemático. En 1872 realizó un viaje a Suiza. Allí conoció a Richard Dedekind con quien estableció una relación de profunda amistad hasta el final de su vida. Muchas cartas se intercambiaron desde entonces y, aún cuando en ellas no se incluían muchos temas de matemática, el pensamiento abstracto y lógico de Dedekind influyó profundamente en Cantor.

Cantor comienza probando que el conjunto de los números naturales  \( \mathbb{N}= \left \{ 1,2,3,4,... \right \}      \) y el de los números pares \(  \mathbb{P}= \left \{ 2,4,6,8,... \right \} \) tienen la misma cardinalidad, es decir, son equipotentes, existe una correspondencia biunívoca entre ambos:
\[  1\leftrightarrow 2; 2\leftrightarrow 4; 3\leftrightarrow 6; 4\leftrightarrow 8;...    \]

Por tanto existe la misma cantidad de números naturales que de números pares.

Cantor estudió el conjunto de los números enteros, \( \mathbb{Z}\), y concluyó que era equivalente su cardinal infinito y el de los números naturales. Establece el siguiente orden en  \( \mathbb{Z}= \left \{ 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,... \right \}\), es decir,
\[  1\leftrightarrow 0; 2\leftrightarrow 1; 3\leftrightarrow -1; 4\leftrightarrow 2; 5\leftrightarrow -2; 6\leftrightarrow 3...    \]
Y por tanto la correspondencia biunívoca viene dada por:
 \[  \frac{1+(-1)^{n}\cdot (2n-1)}{4}    \]

Cantor observa que puede establecer relaciones entre conjuntos infinitos y el conjunto \(\mathbb{N}\), y determina que dichos conjuntos son numerables. Y va más allá, introduce una nueva categoría de número "transfinito", que representa el número de elementos de un conjunto numerable, que Cantor inicialmente denomina A (en alusión a abzaehlbar, que significa contable en alemán), actualmente denominado  Aleph cero.

Por tanto cardinal \(\mathbb{N}\) = cardinal \(\mathbb{P}\) = cardinal \(\mathbb{Z}\)= Aleph cero

Cantor se plantea si \(\mathbb{Q}\), el conjunto de los números racionales será también numerable. Todo parecía indicar que no lo sería, los números racionales están densamente distribuidos, a diferencia de los números enteros; entre dos números racionales hay infinitos racionales. Así que cualquiera conjeturaría que su cardinal es de una categoría superior a la de \(\mathbb{N}\), pero Cantor probó que también era numerable!!

La demostración era sencilla, estableció un orden en las fracciones, organizadas tal y como se observa en la siguiente tabla:

Dada una fracción cualquiera, por ejemplo \(  \frac{4}{5} \), podemos localizarla en la fila 5ª y la columna (teniendo en cuenta los positivos y negativos anteriores a 4) será la 7ª (doble de 3 más 1), en el caso de las fracciones negativas, \(  -\frac{4}{5} \), se encontrará en la fila 5ª y la columna 8ª (doble de 4). Así queda comprobado que la tabla contiene todas las fracciones, con redundancia, pues contiene todas las fracciones equivalentes a una dada. Cuando efectuamos el recuento se hará en el orden propuesto por Cantor, siguiendo las flechas y omitiendo en el recuento las equivalentes a las ya contadas. Hay tantos números racionales como naturales.

El conjunto de los números racionales, \(\mathbb{Q}\), es numerable y por consiguiente igual al conjunto de los números naturales. Cardinal \(\mathbb{Q}\) = Aleph cero.

Parecía que todos los conjuntos infinitos representaban el mismo número transfinito, Aleph cero, pero Cantor observó que no era así. 

La escuela pitagórica  ya reconocía la existencia de números inconmensurables, y Euclides demostró que \(  \sqrt{2}  \) era un número irracional.

En 1874 el mundo matemático aprendió otra lección del trabajo de Cantor, existía un conjunto no numerable, precísamente eran los números irracionales,  \(\mathbb{I}\), que tantos quebraderos de cabeza habían dado a los matemáticos griegos.

Cantor publica en 1874 "Ueber eine Eigenschaft des inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen" iniciando un camino revolucionario. En principio, el conjunto no numerable encontrado por Cantor era el conjunto de los números reales. Demostraba que ningún intervalo de números reales por pequeño que fuera podía ser equivalente a los números naturales.

En 1891 vuelve a tratar esta cuestión y da una sencillísima demostración de la no numerabilidad de cualquier intervalo de números reales. Cantor demuestra que \( (0,1)\subset \mathbb{R} \) no es numerable. La demostración, por reducción al absurdo, supone que todos los números del intervalo pueden ser ordenados:
\( 0,a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}... \);  \( 0,b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}..  \); \(   0,c_{1} c_{2} c_{3} c_{4}... \);  \( 0,d_{1} d_{2} d_{3} d_{4}... \) ...

Y Cantor describe un nuevo número que no formaría parte de esa colección: \( 0,a_{0} b_{0} c_{0} d_{0}... \) de manera que \( a_{0}\neq a_{1}; b_{0}\neq b_{2}; c_{0}\neq c_{3}; d_{0}\neq d_{4};...   \) y \(  a_{0}, b_{0}, c_{0}, d_{0},...  \) no tomen ni el valor 0 ni 9 (con lo que evita aproximaciones que conviertan al nuevo número en alguno de la lista, por ejemplo \( 0,499999999...= \frac{1}{2} \) ). De esta sencilla manera Cantor obtiene un nuevo número real que no está en la lista, pese a que suponíamos que estaban todos.

Para extender este razonamiento a cualquier intervalo \( (a,b) \) basta establecer la relación biunívoca mediante \( y= a + (b-a)\cdot x  \)  lo que garantiza la misma numerabilidad que el intervalo \( (0,1) \). Y para extender el razonamiento a todos los números reales basta considerar la correspondencia biunívoca entre \( x\in (0,1) \) e \( y \in \mathbb{R} \):
\[  y= \frac{2x-1}{x-x^{2}}    \]
Y por tanto concluye que el cardinal de los números reales, \( \mathbb{R}= \mathbb{Q} \cup  \mathbb{I} \), describe un nuevo número transfinito mucho mayor que Aleph cero, que denomina \(c \) (cardinal del continuo), también conocido como Aleph uno.

Además demuestra que la unión de conjuntos numerables es numerable, lo que le lleva a concluir que son los números irracionales, \(\mathbb{I}\), los que no son numerables, ya que los números racionales sí lo son. Cardinal \(\mathbb{I}\) = \( c\) o Aleph uno.

Así que un conjunto numerable (de cardinal infinito), \(\mathbb{Q}\),  resulta ser una cantidad insignificante pese a su comprobada densidad. Cantor afirma que los números racionales son muy escasos cuando se amplia la escena a los números reales, donde dominan los números irracionales. El trabajo de Cantor arrojaba luz sobre las diferencias intrínsecas entre subconjuntos de números reales, que explicaría algunos fenómenos inquietantes al desarrollar los fundamentos del Cálculo y el Análisis de funciones.

Tras demostrar la no numerabilidad de los números irracionales, Cantor va más allá, y concluye que serán los números reales trascendentes (no algebraicos) los que provocan esa no numerabilidad.

En el momento en el que Cantor está desarrollando su teoría del infinito se creía que existía una gran cantidad de números algebraicos, es decir aquellos que  pueden obtenerse como solución de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. Y, por el contrario, se creía que los números trascendentes (no algebraicos) era escasos y difíciles de obtener.

Constante de Liouville 

Euler fue el primero que especuló sobre la existencia de estos números. El primer ejemplo de número trascendente fue, L, dado por Joseph Liouville en 1844. En el año 1873 Charles Hermite demuestra que el número \( e \) es trascendente (ver demostración). En 1882 Lindemann prueba que \( \pi  \) además de irracional es trascendente.

Cantor acomete una nueva genialidad, demuestra que ¡¡los números algebraicos eran numerables!! Veamos su razonamiento.

Considera \(  a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-2}x^{2}+a_{n-1}x+a_{n}=0  \) ecuaciones algebraicas con coeficientes naturales. El Teorema Fundamental del Álgebra afirma que dicha ecuación tendrá al menos una raíz real o compleja, si n es impar sabemos que tendrá necesariamente, al menos, una solución real. El conjunto de todas las soluciones de todas las ecuaciones algebraicas serán los números algebraicos.

Cantor introduce el concepto de altura, H, de una ecuación algebraica. H es la suma de los valores absolutos de los coeficientes de la ecuación más el grado menos 1. Así la altura de \( 3 x^{2}+ 5x -7 \)  será    \( H=3+5+7+2-1=16 \). Cantor demuestra que existe una cantidad finita de ecuaciones que tienen la misma altura H. Así que las agrupa según el valor H, empezando por H=1, forma subgrupos teniendo en cuenta el grado, dentro de esta agrupación considera el orden de nuevo teniendo en cuenta el coeficiente principal, de mayor a menor, si coincidieran considera el orden respecto del valor del segundo coeficiente, etc, De esta manera las ecuaciones se pueden ordenar de manera unívoca, lo que equivale a decir que las ecuaciones son numerables.

 

Raíces de la ecuación cúbica

Cada ecuación algebraica puede tener una o varias raíces reales, pero ninguna ecuación puede tener más raíces que su grado y por consiguiente que su altura H. De manera que las raíces, como las ecuaciones, se pueden ordenar. Cantor observa que si cada número algebraico que se obtiene de esta manera se suprime al presentarse por segunda vez, se evitan las repeticiones y cada número algebraico tendrá un lugar definido en esa lista ordenada, es decir, los números algebraicos al igual que las ecuaciones algebraicas son numerables.

Así que teniendo en cuenta que el conjunto de los números reales no es numerable y que los números algebraicos sí lo son, son los números trascendentes los que generan la no numerabilidad.

Esto resultó provocador e inquietante en la época de Cantor. Sólo se conocían unos pocos números no algebraicos (trascendentes) y allí estaba Cantor sosteniendo convencido que los números trascendentes existían en gran cantidad y todo ello sin mostrar ni un solo ejemplo de número trascendente.

Éste fue el legado de la singular publicación de Cantor en 1874. Fueron muchos los que admiraron sus resultados, pero los más conservadores tomaron con reserva las locas demostraciones de Cantor, al que tildaban de místico. Cantor creía apasionadamente en sus hallazgos, y aún nos depararía más sorpresas con sus descubrimientos.

Cantor sorprendió de nuevo afirmando y demostrando de una manera increiblemente sencilla que "los puntos de un segmento cualquiera de una recta no es una cantidad menor que la cantidad de puntos de la recta infinita", es decir un segmento AB y una recta r ¡¡contienen la misma cantidad de puntos!!

La correspondencia biunívoca entre los puntos del segmento AB y la recta r se obtiene simplemente trazando una imaginaria línea desde los puntos auxiliares D y C, que cortará al segmento y a la recta en dos únicos puntos. Lo que demuestra que por cada punto del segmento obtenemos otro que le corresponde sobre la recta, es decir, existe el mismo número de puntos en el segmento que en la recta infinita.

Cantor empezaba a cuestionarse si sería posible encontrar un cardinal transfinito superior a \( c  \) y creyó que la solución estaría en considerar un cuadrado de dos dimensiones, (0,1)  x  (0,1).

Escribe a Dedekind en 1874 con esta cuestión, y el propio Cantor cree que no es posible establecer una correspondencia biunívoca entre ese cuadrado y el intervalo \( (0,1) \). Cree que claramente el cuadrado tiene una mayor abundancia de puntos. Hasta que en 1877 descubre que dicha correspondencia ¡¡sí existe!!

Demostró que pese a ser de dimensión 2, ambos conjuntos tenían cardinalidad \( c  \). Inmediatamente escribió a Dedekind mostrándole su asombro: "lo veo pero no lo creo".

Considera S, el cuadrado \( (0,1) X (0,1)\), siendo \((x,y)  \) coordenadas  donde \( 0<x< 1 ; 0<y< 1 \)
Sea \((x,y)  \) punto de S  tal que \( x= 0,a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}... \)   \( y= 0,b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}..  \) le hace corresponder \( r =  0,a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}a_{3} b_{3}... \) que pertenece al intervalo \( (0,1) \).

Y dado \( r  \) del intervalo se puede obtener el punto \((x,y)  \) de S, siguiendo el procedimiento inverso.

Existe alguna singularidad, algún \( r  \) puede no tener su correspondiente en S, por ejemplo: \(0,10909090...\) daría lugar a \( (0,1999999...; 0,000000.. )\) y sabemos que la segunda coordenada no puede ser nula.

No supuso ningún problema pues lo que Cantor obtuvo es que el cardinal de S es menor que \( c  \) y como obviamente \( c  \) es menor que el cardinal de S, la igualdad de ambos cardinales está asegurada (teorema de Cantor-Schröder-Bernstein).

Cantor pudo demostrar fácilmente que incluso todos los puntos del plano tienen la misma cardinalidad que el intervalo  \( (0,1) \), ya que en el plano entendido como el producto cartesiano \( X x Y \) , puede asimilarse cada eje (recta) en correspondencia con el intervalo  \( (0,1) \), lo que nos lleva al cuadrado S.

Incluso un cubo tridimensional no aumenta la cardinalidad, sigue siendo \( c  \) o Aleph uno. El procedimiento es el mismo que el que utilizó para el cuadrado S.

Cantor va aún más allá; dice y comprueba que hasta para un espacio que tenga una infinidad numerable de dimensiones, el cardinal transfinito de dicho espacio será  \( c  \). Parecía que \( c  \) sería el último cardinal transfinito. Pero no sería el final.

 

 Hipótesis del continuo

En la primavera de 1884, mientras trabajaba febrilmente en la hipótesis del continuo, con 40 años de edad, Cantor sufrió por primera vez una de las crisis que habrían de repetirse con diversa intensidad durante el resto de su larga vida, llevándolo al ingreso en el Hospital Neuropático de Halle.

Llegó a dudar de la solidez de su obra. Muchos de sus mejores estudios sobre la teoría del infinito fueron realizados entre crisis. Al recuperarse de ellas, notaba que su mente se tornaba extraordinariamente clara.

En 1891 Cantor logró demostrar que existían cardinales transfinitos mayores y además en cantidades increibles. Se conoce como Teorema de Cantor, en él garantiza que existe una cadena interminable de números transfinitos, cada vez mayores.

Cantor llevó las matemáticas hasta un territorio inexplorado en el que se empezaban a fundir con los sueños de la filosofía y la metafísica. Cantor encontró significado religioso a su teoría de los transfinitos:

 "No albergo dudas respecto a la verdad de los transfinitos que he reconocido con la ayuda de Dios". 

Su actitud mística le favoreció poco frente a sus críticos. Uno de ellos era Leopold Kronecker, toda una institución en la Universidad de Berlín.

Georg Cantor

En 1899 sufre un golpe terrible con la muerte de su hijo Rudolf, volvió a ser hospitalizado en 1902, 1904, 1907 y 1911. Tras el alta solía quedarse largos períodos en casa sentado, inmóvil y callado. Fue una vida triste. La muerte le sobrevino el 6 de enero de 1918, durante un ingreso en el Hospital Neuropático de Halle.

David Hilbert declaró: "Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado".

 Monumento dedicado a Georg Cantor (Halle, Google Maps)

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Viaje a través de los genios (William Dunham)

Cantor, el conquistador del infinito

Números trascendentes: desarrollo histórico 

 Los números transfinitos

Controversias sobre los Fundamentos de la Matemática 

Función Gamma, función Beta, logaritmo, serie armónica y constante ɣ de Euler

Se atribuye el entusiasmo de Leonhard Euler por la Teoría de números a la influencia de Christian Goldbach, que estaba en la Academia de San Petersburgo en 1727 cuando Euler llegó. Poco después Goldbach se traslada a Moscú y desde allí intercambia correspondencia con Euler.

Precisamente, la función Gamma fue descubierta en 1729 entre la correspondencia de Leonhard Euler (que tenía 22 años) y Goldbach. Actualmente, la función Gamma aparece en múltiples ramas de las Matemáticas, desde la teoría de Ecuaciones diferenciales hasta la Estadística; pero su origen se encuentra en la confluencia de un problema de teoría de interpolación con otro de cálculo integral.

El problema de interpolación que dio vida a la función Gamma pasó por las manos de varios matemáticos de la época: Goldbach, Daniel Bernoulli y, antes que ellos, James Stirling, sin dar apenas frutos. 

Sin embargo, todo cambió cuando el asunto llegó hasta Euler. Anunció su solución a Goldbach en sendas cartas, datadas el 13 de octubre de 1729 y el 8 de enero de 1730. En la primera carta Euler alude al problema de interpolación, mientras que la segunda versa sobre el de integración y conecta ambos problemas. En realidad, Euler transmitió a Goldbach tan solo un esbozo de la solución, que no detallaría hasta un año más tarde en su artículo De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt. 

El problema planteado por Goldbach trataba de la sucesión: \(  \left \{ 1, 1\cdot 2,1\cdot 2\cdot 3,1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,... \right \} \) conocida como la sucesión de factoriales: 1!, 2!, 3!,.... ¿es posible obtener una fórmula sencilla para calcular factoriales?, ¿es posible interpolar entre dos factoriales?, ¿qué debería significar 5,5!? La solución de la interpolación factorial escapa del álgebra básica; se hace necesario el uso de procesos infinitos. 

Para apreciar mejor el problema al que se enfrentó Euler, vamos a actualizarlo a un lenguaje más accesible: se trataría de encontrar una función razonablemente simple que en cada entero 1, 2, 3,. . . tome como valor el factorial asociado 1, 2, 6,. . . . 

Así, dados los puntos (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24),... , el problema de interpolación consistiría en encontrar una curva que pase a través de todos esos puntos. En la época de Euler el concepto de función estaba asociado con una fórmula (expresión analítica), entendiendo como tal, cualquier expresión que pudiera ser deducida mediante manipulaciones elementales: sumas, productos, potencias, logaritmos, etc. En definitiva, la tarea de Euler consistía en encontrar una expresión analítica que para cada entero positivo tomara el valor del factorial correspondiente. 

 

 (Euler to Goldbach     13 October, 1729)

Aparentemente, mientras Euler experimentaba con productos infinitos de números, desembocó por casualidad en el siguiente resultado, si m es un entero positivo, entonces:

\[ \frac{1\cdot 2^{m}}{1+m}\cdot \frac{2^{1-m}\cdot 3^{m}}{2+m}\cdot \frac{3^{1-m}\cdot 4^{m}}{3+m}\cdot \frac{4^{1-m}\cdot 5^{m}}{4+m}\cdot \cdot \cdot = m!   \]

Operando resulta:
\[  \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n!\cdot \left ( n+1 \right )^{m}}{\left (1+m \right )\cdot \left (2+m \right )\cdot \cdot \cdot \cdot \left ( n+m \right )} = m! \]

 Para \(m =2\) , operando, obtenemos el límite:
\[   \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2\cdot (n+1))}{n+2}=2 =2! \]

Para \(m =3\):
 \[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{6\cdot \left ( n+1 \right )^{2}}{\left ( n+2 \right )\cdot \left ( n+3 \right )}=6=3!  \]

Euler había resuelto el problema en el que fallaron ilustres matemáticos de su época.

Euler to Goldbach     13 October, 1729

Euler observó algunas propiedades de este producto. Para m entero el resultado era un número entero, mientras que para otros valores, por ejemplo \( m=\frac{1}{2} \) , proporcionaba una expresión que involucraba al número \( \pi =\frac{p}{d}\). La aparición de π le sugiere a Euler los círculos y sus cuadraturas, y las cuadraturas significan integrales.

Euler estaba familiarizado con ciertas integrales que cumplían propiedades similares a las mencionadas, lo que le indujo a buscar una transformación que le permitiera expresar el factorial como una integral.

Tomó entonces la integral \( \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx  \) .

Casos particulares de esta integral ya habían sido estudiados por Wallis, Newton y Stirling. Era una integral complicada de manejar, ya que el integrando no siempre admitía una primitiva elemental como función de x. Suponiendo que n es un número entero y α un valor arbitrario, Euler desarrolló \( \left ( 1-x \right )^{n}\) mediante el teorema binomial.

Y sin mucha dificultad encontró la siguiente identidad:
 \[   \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx  =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( \alpha +1 \right )\cdot \left ( \alpha +2 \right )\cdot \cdot \cdot \left ( \alpha +n+1 \right )} \]

La idea de Euler consistía ahora en aislar el numerador, n!, para  expresarlo como una integral.

El proceso para conseguirlo fue laborioso. Comienza suponiendo que \(α = \frac{a}{b}\). Obtiene, operando:
 \[  \int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\left ( 1-x \right )^{n}dx  =\frac{ b^{n+1}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )\cdot \left ( a+\left ( n+1 \right )b \right )} \]


Y despejando:
  \[  \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\cdot \left ( 1-x \right )^{n}dx \]

Sustituye \(x\) por  \(x^{\frac{b}{a+b}} \) y por tanto \( dx \) será \(\frac{b}{a+b}\cdot x^{\frac{-a}{a+b}}\cdot dx \), además \(x^{\frac{a}{b}}\) será \(x^{\frac{a}{a+b}}\).

Obtiene así: 
  \[   \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int \frac{b}{a+b }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{\left (a+b  \right )^{n+1}}\int \frac{(a+b)^{n}}{b^{n} }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx \]

Euler observa que si a=1, b=0:
 \[ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int \frac{1}{0^{n}}\cdot \left ( 1-x^{0}\right )^{n}  dx=\int \left ( \frac{1-x^{0}}{0} \right )^{n}dx\ \]

 Considera ahora que \(y\) es próximo a 0, y resuelve la indeterminación mediante L'Hôpital:

  \[ \frac{1-x^{0}}{0}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{1-x^{y}}{y}=\lim_{y\rightarrow 0}\dfrac{-x^{y}\cdot ln(x)dy}{dy}=\lim_{y\rightarrow 0}-x^{y}\cdot ln\left ( x \right )=-ln(x) \]

Así obtuvo lo que buscaba, la expresión de \(n! \) mediante una integral, que pudiera generalizarse a valores no naturales:
  \[ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx\]

Cronológicamente hablando, esto nos sitúa, aproximadamente, en el año 1750. La extensión de la función Gamma a los números negativos y posteriormente a los números complejos, se produjo a principios del siglo XIX y formó parte del desarrollo general de la Teoría de funciones de variable compleja que habría de configurar uno de los grandes capítulos de las Matemáticas.

El matemático francés Adrien-Marie Legendre, en 1809, denominó integral euleriana de primera especie, \( \beta \), a la integral con la que Euler inició su deducción del valor de \(n! \), que hoy conocemos como función Beta:
  \[  \beta \left ( m,n \right )= \int_{0}^{1}x^{m-1}\cdot \left ( 1-x \right )^{n-1}dx \]

Así mismo, Legendre denominó integral euleriana de segunda especie,  \( \Gamma \):
  \[  \Gamma\left ( x \right )=\int_{0}^{\infty }e^{-t}\cdot t^{x-1}dt \]

Verifica la relación de recurrencia:  \( \Gamma (x+1)= x\cdot \Gamma (x)  \), fácil de comprobar mediante integración por partes. Además \( \Gamma (1)= 1\), de todo esto se deduce que \( \Gamma (n+1)= n!\).

También, como Euler había comprobado:

 \[  \Gamma\left ( n+1 \right )= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx = n! \]

En los años posteriores a Euler se estudiaron en profundidad las funciones Gamma y Beta, y su mágica relación:

\[  \beta \left ( m,n \right )=\frac{\Gamma \left ( m \right )\cdot \Gamma (n)}{\Gamma \left (m+n  \right )} \]

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En 1748 Euler publica Introductio in Analysin Infinitorum en dos volúmenes (E101, E102).

La Introductio de Euler resultó trascendente, afectando a las matemáticas posteriores en contenido, estilo y notación. Euler da una definición exacta de función que difiere algo del concepto moderno:

"Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma, cualesquiera que sean la cantidad variable y las cantidades constantes".

 Pero Euler fue más allá de dar esa definición, destacó aquellas funciones que han sido utilizadas como los bloques esenciales para construir el Análisis: polinómicas, trigonométricas, exponenciales y la función logaritmo.

Fue Euler el primero que entiende la función logaritmo como la inversa de una función exponencial y no un mero instrumento de cálculo.

Es importante recalcar que las tablas de logaritmos habían aparecido un siglo antes de que Euler naciera. Una tabla de logaritmos fue, desde esa época hasta mediados del siglo XX, lo que las calculadoras y el ordenador son en la época moderna: un gran invento para ahorrar tiempo en los cálculos tediosos. Transformaban la multiplicación y la divisón en simple adicción o sustracción.

El término logaritmo fue acuñado por Napier en el siglo XVII. Henry Briggs, profesor de geometría en Oxford, visitó a Napier en Edimburgo y después de discutirlo, llegaron a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1. Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs. 

La tarea de construir la primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs, fue una labor tediosa que la siguiente generación de matemáticos mejoraría usando series infinitas. Los primeros pasos en el nuevo cálculo logarítmico fueron dados por Gregoire de Saint Vicent, quien sugirió que existía relación entre los logaritmos y el área bajo un segmento de hipérbola.

  Ahora sabemos que el área bajo un segmento de hipérbola viene dado por el logaritmo natural.

 \[   \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\cdot dt= ln (x)   \]

Serán Mercator y Newton quienes aproximarán estas áreas hiperbólicas mediante series, y por tanto los logaritmos.

Newton obtuvo que:

\[ ln(1+x)= \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\cdot dt=\int_{0}^{x} (1-t+t^{2}-t^{3}+...)= x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-...     \]

Euler conoció los métodos de Newton y Mercator para aproximar valores de logaritmos mediante series, y lo mejoró. Euler observó que esa serie no aproximaba los logaritmos con la eficiencia deseada. Así que realiza un cambio, sustituye \(x\)  por \( -x \) : 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]

Restando ambas expresiones obtuvo:

 \[ ln(1+x) - ln (1-x) = 2x+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}+...\]

\[  ln\frac{1+x}{1-x}=2\cdot \left [x+ \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+... \right ]    \]

Euler afirmó que esta serie era fuertemente convergente para valores pequeños de x y que transformaría el cálculo de logaritmos decimales en una labor sencilla. Fue Euler el que, además, había demostrado la "regla de oro de los logaritmos", es decir, la relación entre logaritmos de distintas bases:  \(  \log_{10}(b) = \dfrac{ln (b)}{ln (10)} \).

Así, si  \(  x=   \dfrac{1}{3}   \), se podría calcular fácilmente  \(  ln(2)  \):

\[  ln  \dfrac{4}{2} = ln(2) = 2\cdot \left [ \frac{1}{3}+ \frac{1}{81}+\frac{1}{1215}+... \right ] = 0,693135     \]

Si \(  x=   \dfrac{1}{9} \) obtenemos

 \[  ln  \dfrac{5}{4} = 2\cdot \left [ \frac{1}{9}+ \frac{1}{2187}+\frac{1}{295245}+... \right ] = 0,223143    \]

Por tanto 

\[ ln(5)= ln (4 \cdot \dfrac{5}{4})= 2\cdot ln(2) + ln  \dfrac{5}{4} = 1,609413 \]

Finalmente:

\[log(5)=\dfrac{ln (5)}{ln (10)}= \dfrac{ln (5)}{ln (5)+ln(2)}= \dfrac{1,609413}{2,302548}=0,698970 \]

Para Euler, los logaritmos eran una de las herramientas principales del Análisis, aparecen una y otra vez a lo largo de su fructífera obra. Fue así como Euler encontró una relación entre los logaritmos y la serie armónica, y en este camino descubrió una de las constantes más omnipresentes de todas las matemáticas, la constante "gamma de Euler", ɣ.

La serie armónica \(   \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}     \) escondía tras su sencilla apariencia su carácter, la serie diverge hacia infinito. Este comportamiento era conocido mucho antes de que Euler naciera, lo había demostrado Jakob Bernoulli en Tractatus de seriebus infinitis.

Tractatus de seriebus infinitis (páginas 250, 251)

Euler se sintió atraido por la serie armónica y también realizó una demostración de la divergencia, en su Introductio. 

Parte de su expresión 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]

haciendo  \(  x=1   \)

 \[ ln (0) = - (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... )\]

Por tanto 

\[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}  = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... = - ln(0)=ln(\frac{1}{0})=ln ( \infty) =  \infty  \] 

Queda demostrado.

Porque, Euler dice: "el logaritmo de un número infinito es infinito". 

Así Euler conecta la propiedad de la serie armónica con el logaritmo.

Decide profundizar...

Comienza tomando \( x=\frac{1}{n} \) que sustituye en la expresión de la serie obtenida por Newton:
\[  ln(1+ \frac{1}{n})= \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{3n^{3}}-\frac{1}{4n^{4}}- ...   \]

Por tanto
\[ \frac{1}{n}= ln(  \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}-...    \]

Sustituye \( n=1, 2, 3, 4,... \) obteniendo:

\[ 1 = ln(2) + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}-... \]
\[ \frac{1}{2}=ln( \frac{3}{2})+ \frac{1}{8}-\frac{1}{24}+\frac{1}{64}-...     \]
\[\frac{1}{3}= ln(\frac{4}{3}) + \frac{1}{18}-\frac{1}{81}+\frac{1}{324}-...   \]

.............................................................

\[\frac{1}{n}=ln( \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}- ...\]

Sumando por columnas:

\[  \sum_{1}^{n }\frac{1}{k}  = ln(2) +ln( \frac{3}{2})+ ln(\frac{4}{3})+...+ln( \frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...  \]
Obtiene:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot \cdot \cdot\frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]
Es decir:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]   

Euler calcula aproximadamente el resto de la serie que aparece en la expresión y obtiene la estimación: 0,577218.

\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+0,577218  \]

En consecuencia, para un valor alto de n, la suma parcial de la serie armónica es la suma de un logaritmo más una constante, esta constante se representa por la letra griega ɣ.

 ɣ es conocida como constante de Euler, no confundir con el número de Euler \( e=2,7182... \)

Su definición exacta es \[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n+1) \right ]    \]

En la actulidad esta constante se define:
\[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n) \right ]    \]
lo que no supone ninguna diferencia, en cuanto a su valor como límite.

  \(  \gamma , \pi ,e\) aparecen por sorpresa en muchas cuestiones del Análisis superior.

\[  e^{\frac{\gamma }{2}}=\frac{\sqrt{2\pi }}{e}\prod_{1}^{n}e^{\frac{1-2n}{2n}}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}    \]
\[  \gamma=-\int_{0}^{\infty }e^{-x}\ln(x) \]

\[\gamma=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{n^{x}}-\frac{1}{x^{n}} \right ) \]

Finalmente, la relación entre \(\Gamma\) y \(\gamma \), siendo   \(\Gamma (n)= (n-1)!\):

\[\gamma =\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \frac{\Gamma (\frac{1}{n})\cdot \Gamma (n+1)\cdot n^{\frac{n+1}{n}}}{\Gamma (2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^{2}}{n+1}\right ] \]

A día de hoy sigue sin demostración su carácter irracional o racional. Es admitido universalmente que es un número irracional.

El geómetra italiano Mascheroni en su obra Adnotationes ad calculum integrale Euleri, calculó el valor de  ɣ con 32 decimales, unos años más tarde Johann Georg von Soldner dio a conocer una aproximación que difería de la de Mascheroni a partir de la vigésima cifra decimal. Algo tan desconcertante que Gauss encargó que un calculista infatigable, F.B.G. Nicolai, resolviera el conflicto numérico. Calculó ɣ  con 40 decimales, finalmente Soldner tenía razón y Mascheroni estaba equivocado. Pero el hecho de que hubiera calculado mal su valor no impidió que en la actualidad ɣ se conozca como la constante de Euler-Mascheroni, ello se debe a que fue Mascheroni quien bautizó a este enigmático número con el nombre ɣ.

En el año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales...

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Fuentes

Euler, El maestro de todos los matemáticos (William Dunham)
Euler y la Teoría de números
Las funciones eulerianas Gamma y Beta complejas
Euler's Correspondence with Christian Goldbach 
The Euler Archive

EULER y el Problema de Basilea

El problema de Basilea debe su nombre a la ciudad natal de Euler y la familia Bernoulli. Consiste en hallar la suma infinita de los inversos de los cuadrados de los números naturales:

 \[   \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}   \]

Aparece mencionado por primera vez en Novae quadraturae arithmeticae (Pietro Mengoli, 1650). A partir de esa fecha varios matemáticos intentarán resolver el problema de hallar la suma, aunque ninguno lo conseguirá hasta llegar a Euler, que realizaría varias demostraciones.

El primero en intentarlo fue John Wallis en su Arithmetica infinitorum (1655), donde aproxima la serie por 1.645, cometiendo un error menor que una milésima.

Leibniz conoció el problema en 1673, cuando Henry Oldenburg se lo propuso por carta, pero no pudo resolverlo. Los Bernoulli también lo conocieron, Jakob Bernoulli aunque no consigue sumar la serie, demuestra que la cota superior es 2.

Obtener aproximaciones no es tan fácil como podría parecer, por ser una serie de convergencia muy lenta. Si sumamos cien términos conseguimos la aproximación 1.63498390018489.

Goldbach en 1729 acota la solución entre 1.664 y 1.665.
Stirling en 1730 también da una aproximación en su libro Methodus Differentialis, 1.644934066, correcta hasta la novena cifra decimal.

Leonhard Euler (Basilea, 1707 - San Petersburgo, 1783)

En 1735 Euler resuelve el enigma:

"He hallado, contra todo pronóstico, una expresión elegante para la suma de la serie \(   1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...     \) que depende de la cuadratura del círculo. He encontrado que 6 veces la suma de esta serie es igual al cuadrado de la longitud de la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 1"

Euler estaba afirmando, en notación actual:

\[   \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{6}   \]

Algunos de los contemporáneos de Euler, aunque aceptaron su solución para el problema de Basilea, reflexionaron sobre la validez del razonamiento que llevaba hasta ella. Especialmente preocupado se mostró Daniel Bernoulli, pero pese a que el razonamiento seguido por Euler era falso, el resultado era cierto!!.

Euler generoso, para disipar las dudas, concibió otra demostración alternativa:

\[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}= 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\frac{1}{49}+\frac{1}{64}+...= \]
\[ = \left [ 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...\right ]+\left [ \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+\frac{1}{64}... \right ]= \left [ 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...\right ]+ \frac{1}{4}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}... \right ]= \]
\[ = \left [ 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...\right ]+ \frac{1}{4}\cdot \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}    \]

Además Euler sabía que
\[ \int_{0}^{1}\frac{\arcsin t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt =\frac{1}{2}\cdot \left ( \arcsin 1 \right )^2=\frac{\pi^{2 }}{8}     \]

Teniendo en cuenta el desarrollo en serie  de \(  \arcsin t = t + \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{t^{3}}{3}+\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \dfrac{t^{5}}{5}+\dfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot \dfrac{t^{7}}{7}+...   \) obtuvo que:

\[  \int_{0}^{1}\frac{\arcsin t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt =\int_{0}^{1}\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt +  \frac{1}{2\cdot 3}\int_{0}^{1}\frac{t^3}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt +\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}\int_{0}^{1}\frac{t^5}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt  +  \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}\int_{0}^{1}\frac{t^7}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt +... \]

donde  \[ I_{1}= \int_{0}^{1}\dfrac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt =1     \]; \[I_{n+2}= \int_{0}^{1}\dfrac{t^{n+2}}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt=\dfrac{n+1}{n+2}\cdot I_{n} \] 

(integración por partes: \( u=t^{n+1} \)  )

Es decir \[ \frac{\pi^{2 }}{8} = \int_{0}^{1}\frac{\arcsin t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot  dt=1+\frac{1}{2\cdot 3}\cdot \left [ \frac{2}{3}\cdot 1 \right ]+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}\cdot \left [ \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}\right ]+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}\cdot \left [ \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}  \right ]+...= \]
\[ = 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...    \]

De todo ello Euler deduce:
 \[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}} = \left [ 1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...\right ]+ \frac{1}{4}\cdot \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2 }}{8} + \frac{1}{4}\cdot \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}   \]

Operando obtenemos:
\[ \frac{3}{4}\cdot \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^2}{8}     \]
 y de este modo magistral Euler obtuvo el resultado esperado:

\[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{6} = 1.64493406685 ...      \]

 El problema de Basilea quedó definitivamente resuelto...

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Fuentes

Euler, el maestro de todos los matemáticos (William Dunham)

El Problema de Basilea: historia y algunas demostraciones

Viaje a través de los genios (William Dunham)

The Euler Archive



                         

Evolución histórica del Cálculo Diferencial e Integral

Eudoxo de Cnido (s. IV a.C.) fue discípulo de Platón y el matemático más importante de la época helénica. Sus obras se perdieron y lo que conocemos es gracias a Euclides.

Podemos decir que Eudoxo es el padre del Cálculo integral, gracias a su método para comparar figuras curvilíneas y rectilíneas. Era conocido el método de inscribir y circunscribir figuras poligonales, pero no se razonaba el porqué de la aproximación de la línea poligonal a la curva, no se disponía de la idea de límite.

Fue Eudoxo el que formalizó esta idea en lo que hoy se conoce como método de exhausción o axioma de Arquímedes (aunque el propio Arquímedes reconoció que se debe a Eudoxo):

"Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad y si continuamos repitiendo este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano."

En lenguaje moderno, Eudoxo decía:

\(  \lim_{n\rightarrow \infty} M (1-r)^{n}=0       \) siendo  \(  \frac{1}{2}\leqslant r< 1   \)

Nos tenemos que trasladar al siglo XIV para encontrar una figura de gran interés: Nicolás de Oresme (1323-1382). Fue el primero que concibe las coordenadas en el plano como las usamos hoy. Él las  denominaba latitud y longitud. Y daría un paso de gigante cuando representó "cómo varían las cosas" mediante una gráfica. La gráfica se refería a un cuerpo moviéndose con un movimiento uniformemente acelerado.

Oresme decía:

"Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento rectilíneo."

 

Sobre la recta horizontal consideraba los sucesivos instantes del tiempo (longitud) y para cada instante traza un segmento perpendicular (latitud), cuya medida representa la velocidad en ese instante. Oresme percibió que si un cuerpo parte del reposo entonces la totalidad de los segmentos velocidad (ordenadas) cubren el área del triángulo. Y se da cuenta de que este área representa la distancia recorrida. Curiosamente, Oresme no nos explica por qué el área bajo la curva velocidad-tiempo representa el espacio recorrido. Hoy sabemos que estaba en lo cierto.

Es decir, Oresme percibió los fundamentos del cálculo infinitesimal:

    >>  manera en que varía una función, es decir, la ecuación diferencial de la curva.

    >>  manera en que varía el área bajo la curva, es decir, integral de la función.

En el siglo XVI, tanto Simon Stevin como Kepler y Galileo, necesitaron para sus problemas prácticos el método de exhausción (Eudoxo), pero querían evitar las sutilezas lógicas que provocaba. Fueron, en gran medida, las modificaciones de los antiguos métodos infinitesimales, las que condujeron al cálculo infinitesimal.

El hecho de que fueran ante todo físicos y astrónomos, y no tuvieran una formación matemática muy rigurosa, provocó que fuese Bonaventura Cavalieri, discípulo de Galileo, el que formalizase sus ideas sobre los infinitésimos. El teorema más importante de Cavalieri fue el equivalente de la igualdad moderna:

\(   \int_{0}^{a} x^{n}dx=\dfrac{a^{n+1}}{n+1}     \)

El razonamiento que siguió para deducirla fue muy distinto a nuestra forma de ver hoy.

Consideró un paralelogramo ACDF,  y los triángulos ACF, CDF. Toma el segmento HE como un "indivisible" del triángulo CDF, traza BC = EF, y la paralela BM a CD, resulta BM un "indivisible" de ACF. Deduce entonces Cavalieri que existe una relación biunívoca de los indivisibles de ambos triángulos. Las áreas de ambos triángulos (suma de indivisibles) son iguales. Y como el paralelogramo es la suma de todos los indivisibles de ambos triángulos, resulta que la suma de los segmentos "x" de un triángulo, \(   0\leqslant x\leqslant a     \), es la mitad de la suma de los segmentos "a" = AF en el paralelogramo.

\[  \int_{0}^{a}x dx = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{a} a dx = \dfrac{1}{2}a^{2}   \]

Utilizando un razonamiento considerablemente más complicado consigue demostrar Cavalieri que la suma de los cuadrados de los segmentos en el triángulo es igual a un tercio de la suma de los cuadrados de los segmentos en el paralelogramo. Para los cubos de los mismos segmentos halló que la razón era 1/4; extendió la demostración a potencias más altas, hasta considerarse autorizado a afirmar, en su obra Exercitationes geometricae sex (1647), la generalización a potencias n-ésimas de dichos segmentos.

En 1653 se reedita la Geometría indivisilibus de Cavalieri, pero para entonces los matemáticos franceses habían conseguido resultados notables que dejaban obsoleto el planteamiento geométrico tan laborioso de Cavalieri.

Pierre de Fermat es considerado el padre del Cálculo diferencial. Fue una pena que Fermat no publicase prácticamente nada en vida, él solo se consideraba un matemático aficionado.

En su trabajo "Método para hallar máximos y mínimos" (no publicado en vida), Fermat nos pone en contacto con un proceso que hoy conocemos como diferenciación.

Fermat explica: "en una función polinómica, si comparamos su valor en un cierto punto x, con el valor de la función en x+E, cuanto más pequeño sea el intervalo E entre ambos puntos, resultará que ambos valores \(  f\left ( x \right )  \) y \(  f\left ( x+E \right )  \) aunque no son exactamente iguales, están cerca de serlo."

\[  \frac{f\left ( x \right )}{E}=\frac{f\left ( x+E \right )}{E} \]

Fermat divide ambos valores por E, e imagina E= 0. De esa igualdad deduce el valor de las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica.

En lenguaje actual:  \[  \lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( x+E \right )-f\left ( x \right )}{E}=0  \]

El procedimiento de Fermat consistente en cambiar ligeramente el valor de la variable para considerar valores próximos a uno dado, ha constituido desde entonces la verdadera esencia del análisis infinitesimal.

Fermat, trabajando en geometría analítica, descubrió cómo aplicar su procedimiento a una curva algebraica, \(   y= f\left ( x \right )     \), para hallar la tangente.

Sea P(a,b) punto sobre la curva en el que se desea hallar la tangente.
Sea \( P_{1}\left ( a+E,f\left ( a+E \right ) \right ) \) tan próximo a la tangente que podemos considerarlo situado sobre la tangente a la vez que sobre la curva, aproximadamente.
Consideremos la subtangente TQ, resultará que los triángulos \(TPQ \) y \(TP_{1} Q_{1} \) son semejantes, aproximadamente.

\[  \frac{f\left ( a \right )}{TQ}=\frac{f\left ( a+E \right )}{TQ+E} \]

A partir de esta igualdad y suponiendo que E=0, Fermat obtiene TQ, subtangente que determina unívocamente, junto con el punto P, la tangente buscada.

El método de Fermat equivale  a decir que la pendiente de la curva en P viene dada por:

\[  \lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( a+E \right )-f\left ( a \right )}{E}  \]

A Fermat nunca se le reconoció el mérito que le correspondía, incluso Decartes puso en duda la validez de sus métodos.

Mersenne contribuyó a divulgar algunos de los resultados de Fermat en Francia e Italia, a través de correspondencia, e incluso incluyendo estos métodos en sus obras impresas.

Fermat no solo disponía de un método para hallar las tangentes a las curvas de la forma  \(  y=x^{n} \) sino que también descubrió un resultado relativo al área encerrada bajo estas curvas, esto también fue conocido y publicado por Cavalieri en 1647, la diferencia entre ambos es que Cavalieri usaba razonamientos geométricos de indivisibles y Fermat utilizó métodos numéricos.

Fermat observó que:

\(  1^{m}+ 2^{m}+ 3^{m}+...+ \left ( n-1 \right )^{m}< \dfrac{n^{m+1}}{m+1}< 1^{m}+2^{m}+3^{m}+...+n^{m} \)

de lo que deduce que el área encerrada bajo la curva  \(  n^{m}  \) es \(   \dfrac{n^{m+1}}{m+1}     \)

Estos fueron los inicios, más tarde Fermat desarrollaría un método más efectivo:

"Considero la curva \(   y= x^{n}     \), supongamos que deseo calcular el área encerrada bajo la curva entre los valores \( x=0 \), \(x=a \), para ello subdivido el intervalo [0, a] en una cantidad infinita de subintervalos tomando los puntos de abscisas: \( a, a\cdot r,a\cdot r^{2}, a\cdot r^{3},...    \) donde r es un número menor que 1. En estos puntos considero las ordenadas de los correspondientes puntos de la curva, aproximando el área bajo la curva por medio de rectángulos circunscritos."

Las áreas de los sucesivos rectángulos, empezando por el mayor, vienen dadas por los términos de la serie geométrica de razón \(   r^{n+1}  \):

\(  a^{n}\cdot \left ( a- a\cdot r\right )      \)
\(   \left ( a\cdot r \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r - a\cdot r^{2}\right )= a^{n}\cdot r^{n+1}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )     \)
\(    \left ( a\cdot r^{2} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r^{2} - a\cdot r^{3}\right )= a^{n}\cdot r^{2\cdot (n+1)}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )    \)
\(  .......      \)

\( \left ( a\cdot r^{k} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r^{k} - a\cdot r^{k+1}\right )= a^{n}\cdot r^{k\cdot (n+1)}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )  \)

La suma de la serie será:

\(  \dfrac{a^{n}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )}{1-r^{n+1}}= \dfrac{a^{n+1}}{1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n}} \)

Según r se va acercando a 1, los rectángulos se hacen cada vez más estrechos, de manera que la suma de las áreas de esos rectángulos se aproxima cada vez más al área bajo la curva. Y si hacemos r =1, obtendremos que la suma de serie que nos da el área bajo la curva:

\(  \dfrac{a^{n+1}}{n+1}      \)

Fermat también probó, siguiendo este mismo razonamiento, que el método funcionaba con exponentes fraccionarios e incluso si son negativos.

Pero Fermat se encontró con un escollo, su método no funcionaba con \(   n= -1 \)

Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni (Gregoire de St Vincent)

 .
Fue Gregoire de St. Vincent el que estudió este singular y exótico caso:

"Si tomamos a lo largo del eje OX, puntos tales que los intervalos que determinan van creciendo en progresión geométrica, y si en dichos puntos levantamos las ordenadas correspondientes a la hipérbola  \( x\cdot y= 1  \), entonces las áreas bajo la curva, entre cada dos abscisas sucesivas, son iguales. Es decir, según crece la abscisa geométricamente, el área bajo la curva lo hace aritméticamente."

Gregoire estaba expresando, en lenguaje matemático actual:

\[   \int_{K}^{L}\frac{1}{x}dx=\int_{L}^{M} \frac{1}{x}dx   \]

De forma algo imprecisa Gregoire intuyó que se verificaba la propiedad geométrica-aritmética de los logaritmos. Hoy sabemos que:

\[  \int_{a}^{b}\frac{1}{x} dx= ln (b)- ln(a)\]

Pero aún faltaba que Evangelista Torricelli propusiera que el logaritmo tenía asociada una gráfica, porque hasta ese momento era un recurso de ayuda para el cálculo aritmético.

Fermat se interesó por muchos aspectos de lo que hoy llamamos analisis infinitesimal: tangentes, cuadraturas, longitudes de curvas,..., por lo tanto dificilmente pudo pasarle desapercibido que al hallar las tangentes de \(  k\cdot x^{n}   \) se multiplica el coeficiente por el exponente \( n  \) y la potencia de \( x \) quedaba disminuida en una unidad, y que sin embargo al hallar el área bajo  \( k\cdot x^{n} \) se eleva el exponente en una unidad y se divide el coeficiente por este nuevo exponente.

¿Pudo pasarle desapercibido que el problema de hallar las tangentes  y las cuadraturas eran inversos? Hoy se piensa que sí lo percibió pero no le pareció importante.

Evangelista Torricelli (1608-1647) fue uno de los matemáticos más prometedores del siglo XVII, que curiosamente es más recordado por la invención del barómetro.

Torricelli dominaba a la perfección los métodos de Fermat. Estuvo muy interesado en el estudio de las trayectorias parabólicas que siguen los proyectiles disparados desde un punto fijo. Fue precísamente al pasar de la ecuación de la distancia en función del tiempo, a la de la velocidad en función del tiempo, cuando Torricelli se da cuenta del carácter inverso de la determinación de tangentes y el problema de las cuadraturas.

Si hubiera vivido más, muere a los 39 años, probablemente él hubiera sido el creador del Cálculo diferencial.

Torricelli tuvo la gloria de haber representado la primera curva en la historia de la matemática, y escogió la función logaritmo \(  y= log (x)  \).

Blaise Pascal (1623-1662) fue otro matemático que murió prematuramente, y como Torricelli, estuvo casi a punto de crear el Cálculo diferencial.

Isaac Barrow (1630-1677) en 1664 fue nombrado primer profesor Lucasiano de geometría en la Universidad de Cambridge, cátedra que ocuparía en 1669 Isaac Newton, sucediendo a Barrow.

En 1668 se publica una edición revisada de Mesolabum de René de Sluze,  que incluía una sección dedicada a la resolución de problemas infinitesimales en la que aparecía un método para determinar máximos y mínimos.

MESOLABUM_René de Sluze

Así que Barrow decide ofrecer a través de la publicación de Lectiones geometricae (1670), en la que también participa Isaac Newton, una visión de los problemas de tangentes y cuadraturas hasta ese momento, incluyendo un tratamiento completo de los nuevos descubrimientos.

Barrow preferia las concepciones cinemáticas de Torricelli, consideraba las magnitudes geométricas como engendradas por un flujo continuo de puntos. Y aunque en principio prefiere los razonamientos de Cavalieri a los de Fermat, finalmente da un método de determinación de tangentes que es prácticamente idéntico al que usamos hoy en el Cálculo diferencial. El método de Barrow se parece al de Fermat, pero en él aparecen dos cantidades \(  a \) , \( e \) , en vez de la única cantidad E.

Barrow considera un punto P sobre la curva que es el punto de tangencia, se trata de hallar NM = t, subtangente. Imagina un arco de curva correspondiente a PQ infinitamente pequeño, siendo p la ordenada de P, y denomina a = QR , e = PR, lados del triángulo PQR.

Establece la semejanza de triángulos: \( \dfrac{a}{e}=\dfrac{p}{t}  \), en terminos actuales la pendiente vendría dada por \( \dfrac{a}{e} \).

Y procede de manera análoga a Fermat sustituyendo  \(  f(x,y)=0  \) por \(  f(x+e,y+a)=0 \), suprime los términos que no contengan "a" o "e", sustituye \(a \) por \(p \), \(e \) por \(t \). Quedando determinada \( t \) en términos de \( (x, p)  \), así que conocida la subtangente, conocemos la tangente.

Según todos los indicios Barrow no conocía directamente la obra de Fermat, porque no menciona su nombre, sin embargo cita como fuentes: Cavalieri, Huygens, Gregoire St. Vincent, James Gregory y Wallis. Así que es muy probable que llegara a conocer el método de Fermat a través de ellos. El propio Newton, que estaba en estrecho contacto con Barrow, reconoció que el método de Barrow era el de Fermat un poco mejorado.

De todos los matemáticos que anticiparon fragmentos del Cálculo diferencial e integral, ninguno se aproximó tanto como Barrow.

Barrow reconoció claramente el carácter inverso de los problemas relativos a tangentes y cuadraturas, pero su adhesión incondicional a los métodos geométricos, le impidió hacer un uso efectivo de esta relación.

Versión geométrica del Teorema Fundamental del Cálculo (Barrow)

Isaac Barrow: "para trazar una recta tangente a una curva, ésta última debe estar relacionada con la cuadratura de otra curva."

Barrow sabía que Newton estaba trabajando simultáneamente en los mismos problemas, así que le animó a publicar sus propios resultados. Y así fue.

 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)

La primera exposición del cálculo de Newton aparece en Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687). En el libro II, lema II, Newton ofrece esta críptica formulación:

"El momento de cualquier genitum es igual a los momentos de cada uno de sus lados generatrices multiplicados por los índices de las potencias de esos lados y por sus coeficientes de manera continua".

Newton entiende por genitum lo que hoy llamamos término, y por momento de un genitum entiende un incremento de él infinitamente pequeño.

Si representamos por \(a\) el momento de A y por \(b\) el momento de B, Newton demuestra que el momento de A·B es  \( a·B+b·A\) ; que el momento de \(  A^{n}  \) es \(  n\cdot a\cdot  A^{n-1}\), y que el momento de \( \dfrac{1}{A} \) es  \( \dfrac{-a}{A^{2}} \). Estas misteriosas expresiones resultaron ser equivalentes a las diferenciales de un producto, una potencia y un inverso. Esto explicaría por qué tan pocos matemáticos de la época llegaron a dominar el nuevo análisis con la terminología usada por Newton.

Newton no fue el primero en efectuar diferenciaciones e integraciones, ni tampoco el primero que observó las relaciones que existian entre ambas operaciones. A Newton, finalmente, se le considera el verdadero inventor del Cálculo, debido a que fue capaz de explotar con gran provecho, la relación inversa entre pendiente y área. Además de consolidarlo a través de un algoritmo general aplicable a todas las funciones algebraicas y trascendentes.

En la primera edición de los Principia ( Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) reconocía Newton que Leibniz estaba en posesión de un método análogo al suyo, pero en la tercera edición, en 1726, Newton suprimió esta referencia. Coincidiendo con la agria disputa entre los seguidores de ambos matemáticos acerca de la prioridad en el descubrimiento del Cálculo.

Actualmente está ya completamente claro  que el descubrimiento de Newton precedió al de Leibniz unos diez años, pero Leibniz hizo sus descubrientos independientemente de los de Newton, además a Leibniz le corresponde la prioridad en su publicación, en las Acta Eruditorum (1684), una revista científica mensual de la época.

G.W. Leibniz (1646-1716) nació en Leipzig, se doctoró en Derecho e ingresó en la carrera diplomática. En 1672 fue a París con la intención de desviar las intenciones conquistadoras de los franceses hacia Alemania, aconseja que Francia dirija una guerra santa contra Egipto. Leibniz tenía en mente una nueva cruzada contra el infiel. Esta vez, sin embargo, el objetivo no sería Jerusalén sino Egipto. La conquista de esa tierra antigua beneficiaría no solo a Francia sino a toda Europa. Traería paz intramuros entre las potencias occidentales y permitiría que los estados cristianos fortalecieran sus defensas contra el musulmán. Sugerencia que más tarde adoptaría Napoleón en 1798.

En París se encontró con Huygens, que le aconsejó que, si deseaba hacerse matemático, leyera los tratados de Blaise Pascal de 1658-1659.

En 1673 una misión política le lleva a Londres, donde compra un ejemplar de Lectiones geometricae de Barrow. Fue esta visita la que generaría dudas sobre si habría conocido los trabajos de Newton, en forma manuscrita, pero en esa época los conocimientos de Leibniz sobre geometría y análisis eran escasos, dificilmente le hubiera sacado provecho.

 Máquina calculadora de Leibniz

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En 1676 Leibniz vuelve a Londres y lleva consigo su máquina calculadora. Leibniz se interesó por la lógica, por lo que significaba en cuanto a formalización del lenguaje y del pensamiento. Leibniz cree que puede crear un lenguaje universal. Concibe la idea de un lenguaje formalizado, combinación de signos, donde lo importante sería la manera de enlazarlos, de modo que una máquina sería capaz de proporcionar todos los teoremas y de manera que todas las controversias formales se pudieran zanjar mediante un simple cálculo.

Sin duda, la prematura muerte de Blaise Pascal, pionero en la comercialización de una máquina similar, la pascalina, y que Leibniz fuera el encargado de gestionar la herencia intelectual de Pascal habrán influido tanto en el desarrollo de la máquina de Leibniz como en el desarrollo del Cálculo diferencial e integral.

 

triángulo infinitesimal o característico (Pascal )

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Leibniz concentró su atención en la lectura de las obras de Pascal sobre la cicloide y otros aspectos del análisis infinitesimal. Fue al leer Traité des sinus du quart de cercle (Blaise Pascal), en particular al observar el triángulo infinitesimal o característico usado por Pascal en la cuadratura del seno, semejante al utilizado por Barrow en el trazado de tangentes, que Leibniz dice que "se hizo la luz" para él.

Leibniz se da cuenta de que la determinación de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas  estas diferencias; así como las cuadraturas dependen  de la suma de las ordenadas o de los rectángulos infinitamente estrechos que constituyen el área.

Leibniz en 1676 supo que estaba en posesión de un método general que era aplicable a todo tipo de funciones. La grandeza añadida de Leibniz fue que desarrolló un lenguaje y notación adecuados, que resultaron ser especialmente afortunados.

Después de varios ensayos decidió representar por \( dx \), \( dy  \)  las diferencias más pequeñas posibles (o diferenciales) de la \( x  \) y de la \( y \). Para representar la suma de las ordenadas bajo la curva utilizó el símbolo \( \int y       \) , posteriormente usará \( \int y ·dx      \) donde el signo integral es una esbelta s, inicial de la palabra suma.

ACTA ERUDITORUM 1684

La primera exposición del Cálculo diferencial de Leibniz ocurrió en octubre de 1684, Nova methodus pro maximis e minimis..., en las Acta Eruditorum.

ACTA ERUDITORUM 1686 

Dos años más tarde publica De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum, en las Acta Eruditorum 1686, una exposición del Cálculo integral, donde muestra que las cuadraturas son un caso especial del método inverso de las tangentes. Hace hincapié en la importancia de considerar las funciones trascendentes en el nuevo análisis, pues observa que si no las incluyéramos entonces no existirían las integrales de muchas funciones algebraicas. La eficacia de la notación de Leibniz y lo plausible de sus ideas provocaron una tendencia a aceptar mejor la idea de diferencial que la de fluxión de Newton.

Cálculo diferencial deriva de: calculus differentialis (cálculo de tangentes).
Cálculo integral deriva de: calculus summatorius o integralis.


Fuente Historia de la Matemática (Carl B. Boyer)
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