(Fragmento de los Elementos de Euclides, hallado en el yacimiento de Oxirrinco, Egipto)
Euclides de Alejandría (siglo IV a.C.) fue el autor del texto de matemáticas de mayor éxito: Elementos.
Los Elementos se limitan austeramente a la exposición en un orden lógico de los fundamentos de la matemática elemental.
Euclides nos ofrece una lista de 23 definiciones, 5 postulados y 5 nociones comunes (o axiomas).
Generaron controversia porque se entendió que muchas definiciones no definían nada, por ejemplo: "una línea es longitud sin anchura", ¿qué era longitud? ¿qué era anchura?, en la definición aparecían conceptos más difíciles que la propia idea de línea.
De los 5 postulados, el 5º postulado daría trabajo durante más de 2000 años a los matemáticos. La controversia acerca de la necesidad, o no, de dicho postulado para fundamentar la Geometría daría lugar a las geometrías no-euclídeas.
Hasta el siglo V a.C. los filósofos esbozan vagos razonamientos fundados en analogías no menos vagas. A partir de Parménides y Zenón de Elea, siglo V a.C., argumentan e intentan extraer unos principios generales que sirvan de base a su dialéctica. En Parménides se encuentra la primera afirmación del "principio del tercio excluso", es decir, todo enunciado significativo es falso o verdadero; y Zenón de Elea hizo célebres sus demostraciones por reducción al absurdo.
La cumbre de este período es la obra de Aristóteles cuyo mérito reside en que sistematiza y codifica por primera vez los procedimientos de razonamientos que sus antecesores no supieron formular. Corresponde a Aristóteles el mérito de haber distinguido el papel de las proposiciones universales, del de las particulares, idea precursora de los cuantificadores. La lógica formal quedó estancada hasta el siglo XIX ya que los trabajos de sus sucesores no tuvieron influencia sobre el desarrollo de las matemáticas y la lógica de Aristóteles era muy rudimentaria.
Al desarrollarse el Álgebra se percibió la analogía entre las reglas de la lógica formal y las del Álgebra. Al tomar la notación algebraica su forma definitiva en el siglo XVII, en manos de Descartes y Vieta, surgen intentos de lograr una escritura simbólica destinada a representar operaciones lógicas.
Con Leibnitz (1646-1716) la lógica formal sale del callejón sin salida escolástico. Leibnitz se interesó por la lógica, por lo que significaba en cuanto a formalización del lenguaje y del pensamiento. Leibnitz cree que puede crear un lenguaje universal. Concibe la idea de un lenguaje formalizado, combinación de signos, donde lo importante sería la manera de enlazarlos, de modo que una "máquina" sería capaz de proporcionar todos los teoremas y de manera que todas las controversias formales se pudieran zanjar mediante un simple cálculo.
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Sin duda, la prematura muerte de Blaise Pascal, pionero en la comercialización de una máquina similar, la pascalina, y que Leibnitz fuera el encargado de gestionar la herencia intelectual de Pascal habrán influido tanto en el desarrollo de la máquina de Leibnitz como en el desarrollo del Cálculo diferencial e integral.
Leibnitz sabía que se proponía algo grandioso y trató de crear la lógica simbólica y un cálculo asociado. Finalmente no lo lograría por estar atado a la lógica aristotélica que él creía inmutable. Los trabajos de Leibnitz permanecieron inéditos hasta principios del siglo XX de manera que tuvieron escasa influencia.
Tschirnhaus (1651-1708) rechaza los conceptos básicos del Cálculo numérico y el uso de las series numéricas, defendiendo los métodos algebraicos frente al Análisis.
Tschirnhaus (1651-1708) rechaza los conceptos básicos del Cálculo numérico y el uso de las series numéricas, defendiendo los métodos algebraicos frente al Análisis.
L'Hôpital expone los nuevos métodos infinitesimales a finales del siglo XVII y poco después un grupo de matemáticos abanderados por Michel Rolle (1652-1719) atacan al cálculo infinitesimal, tildándolo de conjunto de falacias. En el fondo de la controversia, L'Hôpital - Rolle, subyace la admiración por la antigua Geometría (o Análisis sintético). Es decir, la lucha de lo nuevo contra lo viejo.
Para ahondar en la herida, la controversia acerca del 5º postulado de Euclides se zanjará con el nacimiento de la geometría no-euclídea. Esto obligó a abandonar las pretensiones del siglo anterior sobre la verdad absoluta de la geometría euclídea. Asimismo, se ha de abandonar el punto de vista leibnitziano de que las definiciones implican los axiomas; los axiomas dejarán de aparecer como evidentes, para pasar a ser hipótesis cuya adaptación a la representación matemática del mundo sensible se trata de comprobar.
Riemann, creador de la geometría no-euclídea, afirmaba que si una geometría no está de acuerdo con la realidad experimental, no por ello sus teoremas dejan de ser verdades matemáticas. Riemann parte de la intuición y luego abstrae los resultados para dimensiones superiores a n=3, mediante el Análisis.
El problema del Análisis seguía siendo el concepto de número real, ℝ, al que se había llegado de manera intuitiva pero los progresos de la teoría de funciones condujeron a resultados inquietantes, que hicieron presagiar que el número real tenía que ser formalizado.
Bolzano co-fundamentó el Análisis, con Cauchy. Llegó a vislumbrar que la infinitud de los números reales era de un tipo diferente a la de los números naturales. Sin embargo, en estas especulaciones fue una voz clamando en el desierto, pues Gauss y Cauchy padecían de "horror infiniti". Así que los trabajos de Bolzano no fueron publicados y fueron redescubiertos en pleno siglo XX, 1962.
Estos fenómenos tan contrarios al sentido común fueron estudiados por Bolzano, Cauchy y Abel, quienes fundamentarán la noción de límite.
Se aceptó el carácter incompleto y grosero de nuestra intuición geométrica, quedando desde entonces descalificada la intuición como método de demostración.
La noción moderna de estructura se adquiere entre 1900/1950, se define grupo, después cuerpo y extensión de un cuerpo. Surge la Topología que alumbrará la idea de estructura, definitivamente.
George Cantor había desarrollado la Teoría de conjuntos como una rama autónoma de la matemática, sentó las bases de dicha teoría con gran rechazo por parte de sus coetáneos que rechazarían la idea del infinito de Cantor.
Kronecker fue el mayor enemigo de Cantor y Dedekind, rechazaba la aritmetización infinita, sólo admitía que los números enteros fueran la base de todo el edificio matemático.
George Boole debe ser considerado el verdadero creador de la lógica simbólica moderna. En la segunda mitad del siglo XIX, el sistema de Boole es el punto de partida para los trabajos de una activa escuela de logicistas. Sin embargo, no parecen interesarse por las aplicaciones de la lógica a los sistemas formales de la matemática.
George Boole publica "Investigation of the laws of thought" en 1854, donde define un nuevo tipo de álgebra (hoy llamada álgebra de Boole), que unificaría la Teoría de conjuntos y la lógica.
En el siglo XIX Peacock se esfuerza en conseguir una fundamentación sólida del Álgebra. Pero sería Frege (1848-1925) el que dotaría de bases precisas a la Aritmética y por tanto al Álgebra. Frege definió cardinal tratando de evitar las paradojas, tan de moda en esta época.
Frege publica "Fundamentos de la Aritmética"(1884) y "Leyes básicas de la Aritmética"(1893), donde defiende que la lógica y la matemática son una unidad inseparable, razón por la que se enfrentaría a Peirce (1839-1914). La obra de Frege tuvo pobre acogida por su forma de exposición, de difícil comprensión.
Será Peano (1858-1932) quien con un lenguaje sencillo y una colección adecuada de símbolos, sentará los fundamentos de la Aritmética.
Hubo multitud de revisiones de la geometría euclídea. Entre las obras más célebres figuran las de Peano y de Hilbert, fundamentando la Geometría.
El gran logro del siglo XIX fue comprender que la matemática es una creación intelectual del hombre y no una ciencia natural.
Serán Bertrand Russell y Alfred Whitehead, en los Principia Mathematica, quienes mediante una afortunada combinación de la precisión de Frege y la notación de Peano, construirán las reglas para el razonamiento correcto. Diagnostican que hay una regla de oro: lo definido no formará parte de la definición.
El sistema formal de Russell y Whitehead tuvo más éxito entre los lógicos que entre los matemáticos. Las reglas dadas en los Principia parecían tan gratuitas como las formuladas por Zermelo y Von Neumann.
A partir de 1904 Hilbert se plantea resolver las contradicciones de la matemática. En el año 1917 retoma el problema de los fundamentos de las matemáticas y no abandonará hasta el final de su carrera científica. Le acompañan Ackerman y Von Neumann, que irán perfilando los principios de la "teoría de la demostración"o "metamatemática".
El sistema formal de Russell y Whitehead tuvo más éxito entre los lógicos que entre los matemáticos. Las reglas dadas en los Principia parecían tan gratuitas como las formuladas por Zermelo y Von Neumann.
A partir de 1904 Hilbert se plantea resolver las contradicciones de la matemática. En el año 1917 retoma el problema de los fundamentos de las matemáticas y no abandonará hasta el final de su carrera científica. Le acompañan Ackerman y Von Neumann, que irán perfilando los principios de la "teoría de la demostración"o "metamatemática".
Hilbert aborda el problema de la no-contradicción de la Aritmética, de los números reales y la Teoría de conjuntos. El equipo de matemáticos que acompañan a Hilbert demuestran la independencia de los axiomas en un sistema formal, la completitud y la decidibilidad.
El problema de la no contradicción de las teorías matemáticas dio lugar a resultados decepcionantes. Durante los años 1920/1930, Hilbert y su escuela habían desarrollado nuevos métodos para abordar estos problemas. Después de haber demostrado la no contradicción de formalismos parciales que abarcaban parte de la Aritmética, creían estar a punto de demostrar la no-contradicción de la Teoría de Conjuntos y de la Aritmética. Pero... Kurt Gödel se cruzó en el camino de Hilbert.
(Einstein + Gödel)
Kurt Gödel (1906-1978) probó en 1931 que existen dentro de un sistema formal ciertas afirmaciones bien definidas que no pueden ser ni demostradas ni refutadas a partir de los axiomas.
(Einstein + Gödel)
También demostraría, basándose en la incompletitud de la Aritmética, que es imposible probar utilizando los métodos finitistas de Hilbert que los axiomas de la Aritmética no conducirán a una contradicción.
El teorema de Gödel fue el resultado más importante de la lógica matemática. Sin embargo, este teorema no cierra el camino a los intentos de demostración de no contradicción de la Aritmética, siempre que se prescinda de algunas restricciones de Hilbert, referente a los procedimientos finitistas.
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En 1936 Gentzen demuestra la no contradicción de la aritmética formalizada, utilizando la intuición transfinita hasta el ordinal "Aleph cero" 
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En 1939 Gödel demuestra que el axioma de elección de Zermelo es consistente con los restantes axiomas de la Teoría de conjuntos.
.En 1939 Gödel demuestra que el axioma de elección de Zermelo es consistente con los restantes axiomas de la Teoría de conjuntos.
ESCUELAS de PENSAMIENTO MATEMÁTICO
Las mayores controversias de la matemática fueron alimentadas por las distintas escuelas o tendencias.
A lo largo del siglo XVIII se produce en Alemania una cierta controversia sobre las ventajas entre el Análisis, teoría naciente, y la Síntesis, Geometría clásica. Estas posturas, lejos de conciliarse, tuvieron su continuación a lo largo del siglo XIX.
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A lo largo del siglo XVIII se produce en Alemania una cierta controversia sobre las ventajas entre el Análisis, teoría naciente, y la Síntesis, Geometría clásica. Estas posturas, lejos de conciliarse, tuvieron su continuación a lo largo del siglo XIX.
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Klügel (1739-1812) escribía en 1767 que el Análisis era superior porque el planteamiento heurístico de los problemas permitía mayor potencia y gran economía de pensamiento. La Síntesis era atacada porque sus complicadas exposiciones parecían querer sobrevalorar sus resultados.
Gergonne y Plücker fueron representantes de la escuela analítica.
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Gergonne y Plücker fueron representantes de la escuela analítica.
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Los sintéticos acusaban a los analíticos de reemplazar el pensamiento por una "herramienta": el Análisis matemático.
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Poncelet y Steiner representaban a la escuela sintética.
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Poncelet y Steiner representaban a la escuela sintética.
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La escuela intuicionista culpaba a la matemática clásica de no haber manejado adecuadamente el concepto del infinito. Entroncaban con el mundo anterior a George Cantor, admitiendo el infinito potencial, pero no el infinito actual. Del principio del tercio excluso, enunciado por Aristóteles, no admiten su verificación en un conjunto infinito.
Resumiendo, el intuicionismo toma como punto de partida la intuición primordial de los números naturales y la del recuento. A partir de los números naturales construidos como un infinito potencial, las matemáticas deben desarrollarse "constructivamente". Todos los objetos matemáticos han de construirse en un número finito de pasos. Las demostraciones por reducción al absurdo quedaban excluidas del intuicionismo. Podríamos decir que dentro de la escuela intuicionista, surge el constructivismo.
Resumiendo, el intuicionismo toma como punto de partida la intuición primordial de los números naturales y la del recuento. A partir de los números naturales construidos como un infinito potencial, las matemáticas deben desarrollarse "constructivamente". Todos los objetos matemáticos han de construirse en un número finito de pasos. Las demostraciones por reducción al absurdo quedaban excluidas del intuicionismo. Podríamos decir que dentro de la escuela intuicionista, surge el constructivismo.
Poincaré miembro relevante de la escuela intuicionista, tendrá como seguidores a Brouwer y Kronecker, que representarán al constructivismo.
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El constructivismo provocó una mutación inaceptable de la matemática que obligaría a Hilbert a desarrollar su programa finitista, no sólo para salvar a la matemática de las paradojas del infinito en la Teoría de conjuntos, sino para oponerse al intento de Brouwer de prescindir de gran parte de la matemática clásica.
Es en este contexto que Hilbert dirá: "nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros".
Es en este contexto que Hilbert dirá: "nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros".
Algunos resultados de la Teoría de conjuntos, obtenidos por Dedekind y Cantor, chocaban frontalmente con la intuición. Dedekind y Weierstrass veían en los números enteros el fundamento del edificio matemático.
Frege fue más lejos, al incorporar la lógica a los cimientos de la matemática. Este fue el punto de partida de la escuela logicista, que luego sería continuado por Russel y Whitehead. Russel lanzaría paradojas sobre la Teoría de conjuntos, que dañarían el trabajo de Dedekind y Frege, pero finalmente, Russel dió las pautas para un razonamiento correcto.
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Frente a la escuela intuicionista surge la escuela formalista, cuyo representante, Hilbert, trataría de dar una base axiomática a la Teoría de conjuntos, como ya lo hiciera Euclides con la Geometría en su libro Elementos. La escuela formalista de Hilbert, que contaba con Von Neumann y Ackermann, sufrió un duro revés, cuando irrumpió Gödel en la escena matemática.
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Hay que decir que ha habido intentos de conciliar todas las tendencias: intuicionistas, constructivistas, formalistas y logicistas. Quizá el más reciente sea el basado en la utilización de la Teoría de Categorías, a través de una síntesis de la Teoría de conjuntos con la lógica.
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La conclusión general es que seguimos sin disponer de un fundamento firme de la matemática, en general.
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La conclusión general es que seguimos sin disponer de un fundamento firme de la matemática, en general.
El logicismo resultó ser inadecuado y no tuvieron relevancia sus fundamentaciones.El formalismo de Hilbert, decapitado en parte por el teorema de Gödel, perdió fuerza.El constructivismo, con su postura radical, tuvo un minoritario seguimiento.Subsiste un formalismo, desligado de la idea original de Hilbert.La cuestión de la consistencia formal de los axiomas de Zermelo, seguirá siendo una cuestión de fe.La aceptación del teorema de Gödel por parte de la comunidad matemática actual, da como resultado un nuevo horizonte en el Álgebra, el Análisis y la Teoría de la computación.Se cree que actualmente el uso masivo de ordenadores en la investigación matemática, está produciendo una nueva reorientación.
Hilary Putnam afirma: "yo no creo que las matemáticas tengan fundamentos ni los necesiten; los muy discutidos problemas de la Filosofía de la matemática son problemas internos del pensamiento de "algunos" constructores de sistemas formales".
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