De Moebius a Klein, de la tercera a la cuarta dimensión
August F. Möbiusnació en Schulpforta, Alemania. Fue discípulo de Gauss y ejerció como astrónomo y matemático en la Universidad de Leipzig. Fue uno de los pioneros de laTopología, área en la que investigó superficies de una sola cara, como su famosa cinta o banda de Möbius, descrita en 1858.
Este espacio topológico estudiado por Möbius, desde el punto de vista matemático, es el conjunto cociente que se obtiene al establecer una relación de equivalencia R en el subconjunto del plano real, 2-dimensional: [0,1]x[0,1].
La relación de equivalencia R:
"(0, y) R (1, 1-y) para caday perteneciente al intervalo cerrado [0,1]"
De manera práctica se puede construir utilizando una cartulina siguiendo este esquema, mediante torsión de un rectángulo ABCD, lo que sucede en la tercera dimensión:
La figura resultante es una superficie de dimensión 2 inmersa en el espacio de dimensión 3, con borde, no orientable, y que solo tiene una cara. Y no dos caras como el rectángulo plano que la genera.
Un ejemplo visual fue el aportado por M.C. Escher, unacinta sin finen la que las hormigas circulan indefinidamente en fila por 'una y otra cara', es decir, la misma cara.
Max Bill, artista suizo, estaba en 1935 trabajando distintas posibilidades para una escultura colgante cuando creó un objeto de una sola cara al que llamóUnendliche Schleife(Bucle infinito). Su investigación no fue científica ni matemática, sino puramente estética. En aquel momento, según contó, no era consciente de que tal superficie se conocía desde el siglo anterior y cuando lo supo sintió una gran frustración. (Epsilones/web)
"Esta invención se refiere a una correa abrasiva. Más particularmente, se refiere a una correa abrasiva nueva y mejorada construida de modo que se pueda obtener una superficie de pulido o abrasión mucho mayor a partir de una correa abrasiva sin fin." (1949, Owen H. Harris)
Kleinsche Fläche (1882, Superficie de Felix Klein). Recreación de la superficie o botella de Klein.
En 1882 el matemático Felix Klein definió un espacio topológico sorprendente: Kleinsche Fläche, ya que no puede ser construido físicamente, solo lo podemos 'imaginar'...
De manera análoga a la banda de Möbius, podemos establecer una relación de equivalencia R, de manera que (0,t) R (1,t); (t,1) R (1-t,0), siendo t parámetro perteneciente al intervalo cerrado [0,1].
Y de la misma forma que la banda de Möbius se obtiene de un rectángulo, la superficie de Klein será generada desde un toro topológico, mediante dicha relación de equivalencia, es decir, mediante torsión del toro topológico. Lo que sucede en la cuarta dimensión.
La conocida popularmente como botella de Klein, o superficie de Klein, "es homeomorfa al espacio de adjunción de dos bandas de Möbius por la aplicación identidad que identifica sus aristas. Por tanto es una superficie de dimensión 2, no orientable. Y no puede embeberse en el espacio de tres dimensiones, la superficie de Klein pertenece al espacio 4-dimensional". (Topología algebraica, Marta Macho Stadler)
Kleinsche Fläche (Superficie de Klein)
No olvidemos que al ser una superficie continua con una cara, no tiene ni
interior ni exterior, no orientable, no debería cortarse a sí
misma; esta última propiedad no se cumple en las construcciones que
podemos ver de este espacio topológico porque tienen la inconveniencia
de tener que adaptarse a nuestro mundo de tres dimensiones, las que
somos capaces de percibir. Dificultad que la cinta de Möbius no tiene.
Destacaré el vídeo-tutorial del físico y astrónomoClifford Stoll, por la emoción que muestra y por la imaginación desbordante a la hora de buscar materiales con los que fabricar la botella de Klein. Podremos apreciar claramente las dos bandas de Moebius que conforman la superficie de Klein. Muy impactante.
Manufacturando la botella o superficie de Klein (YouTube/Clifford Stoll)
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